Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 355

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Н8

Ф УН КЦ И Я И Е Е

П Р О С ТЕЙ Ш И Е

СВО Й С ТВ А

[ГЛ. VI

1

,

2

Р е ш е н и е . Полагая

х =

— 1,2;

— 1; — 0,5; 0;у

0,5; 1;

 

 

, найдем соответствующие

значения функции

и за­

пишем результаты вычисления в таблицу:

X-

у—

1

, 2

— 1

-

1

, 7

- 1

-

0

, 5

0

0

. 5

1

1

, 2

0

, 1

0

0

, 1

1

1

, 7

и

у

Рассматривая каждую пару найденных значений х

 

как координаты точек плоскости, построим эти точки,

и соединив их плавной линией, получим кривую, назы­

ваемую

кубической параболой

(рис. 77).

П р и м е р

2. Построить кривую, заданную уравне­

нием

 

У2= х\

Р е ш е н и е . Найдем у из данного уравнения

У = ± Ѵ х\

§ 5-1]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е И ЗО Б РА Ж ЕН И Е

 

Ф УН КЦ И И

149

Мы видим, что уравнением

у2 — х3

заданы две функции:

 

 

у

=

У х 2,

и

 

у —

—

У х3,

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

Составим следую­

область определения которых

 

^

0.

щую таблицу значений

х н у ,

 

вычисляя

У х 3.

 

 

0,5

 

 

 

 

 

X

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

и

 

0

 

±0.35

 

 

± 1

 

 

 

± 2 , 8

 

Построив точки по найденным координатам и соеди­ нив их плавной линией, получим кривую, называемую

полукубической параболой (рис. 78).

П р и м е р 3. Построить график функции

 

 

 

 

 

X,

если

X

0

 

 

 

 

У = —X,

X

^ 0 ,

Р е ш е н и е .

 

 

если

 

< .

Здесь функция задана двумя уравнени­

ями:

у =

X,

где

X

имеет только положительные значения

 

 

 

У \

У=+7

о

и =-1 У - 1

Рис. 80.

и нуль, и у = — X, где х имеет только отрицательные значения. Таким образом, область определения данной функции состоит из всех действительных чисел, график же ее представляет ломаную линию, состоящую из бис­ сектрис первого и второго координатных углов (рис. 79).

П р и м е р 4. Построить график функции

I + 1 , если

^ ( — 1, если X < 0.

15О

Ф УНКЦ И Я

И Е Е

п р о с т е й ш и е с в о й с т в а

 

[ГЛ. VI

Р е ш е н и е .

Область

определения

данной

функции

составляют

все

действительные

числа,

а график ее со­

стоит из

0двух

 

полупрямых,

параллельных

оси

Ох

1

 

(рис. 80; здесь стрелка на левой полупрямой означает,

что точка (

; —

 

) ей не принадлежит).

 

функция

П р и м е ч а н и е .

Как

известно из алгебры,

может быть задана тремя способами: аналитическим, табличным и графическим. Эти три способа задания функции мы имели в первых двух разобранных приме­ рах. Хотя каждый из этих способов имеет применение в математике, аналитическое задание функции играет

о^ кную роль.

Приращение функции. Если переменная вели­ чина X изменила свое значение от Хі до Хг, то разность между новым ее значением и первоначальным назы­ вается приращением переменной и обозначается симво­ лом Дх*) (читается: «дельта икс»).

Таким образом,

Дх = х2 — х и

отсюда

Х 2 = х \+ &х.

Величина хг иначе называется наращенным значе­ нием переменной.

Приращение переменной может быть как положи­ тельным, так и отрицательным числом. Если например, значение х изменяется от 5 до 5,2, то

Ах = 5,2 — 5 = 0,2, а если оно изменяется от 10 до 9,7, то

Ах = 9,7 — 10 = —0,3.

Пусть дана функция

у = х2.

Предположим, что аргумент ее имел первоначальное значение jq = 3, а потом изменил свое значение на Х2 = '3,5; тогда

Ах = 3,5 — 3 = 0,5.

*) Заметим,

что

Ах

нельзя рассматривать как произведение

двух множителей;

символ Д неотделим от

х,

как, например, в выра­

жении sin

X

символ sin неотделим от

х.

 

 

 

 

 

 

5 551

 

П Р И Р А Щ Е Н И Е

Ф УН К Ц И И

151

Найдя

значения функции сначала при лгі =

3, а потом

при

х2

= 3,5, получим:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

у2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3 = 9,

 

 

 

 

 

3,52=

12,25.

 

Величина г/і называется первоначальным значением функции, у2— новым или наращенным ее значением, а разность у2— уі — приращением функции. Согласно при­ нятому символу для приращений можем написать:

 

^ У ~ У і — Уі

—

12,25 — 9 =у

3,25.2

 

Найдем-

А

у

при любом

х.приращение

 

функции

= х

изменении

 

 

 

 

 

 

Положим, что аргумент ее имеет любое первоначаль­ ное значение х; тогда первоначальное значение данной

функции будет:

У = х2.

(1)

 

 

Допустим теперь, что х получает приращение Ах; тогда новое (наращенное) значение аргумента будет х + Дх. Чтобы найти новое (наращенное) значение функции, ну­ жно в данное выражение функции вместо х подставить X+ Ах; получим:

Вычтя из равенства

г/ +

Дг/ =

(х +

 

Ах)2.

 

(2)

 

(2)

равенство (1), найдем:

 

 

_

У +

Аг/ = (х2

+ Ах

) 2

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = х

________________ _

 

 

 

 

 

 

А

= (х-\-

Ах

) 2

— X2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

или после преобразования

 

 

 

 

 

 

'

 

 

Дг/=

X2 -f-

2х Ах -(- (Ах

) 2

— х

2

=

2х Ах +

(Ах)2.

(3)

 

 

 

Мы нашли приращение данной функции в общем виде.

Чтобы получить приращение этой функции для част­ ного случая, который мы имели в начале параграфа, можно в равенстве (3) х и Ах заменить соответственно числами 3 и 0,5, после чего найдем:

Ьу = 2 • 3 •0,5 4 - (0,5) 2 = 3 4- 0,25 = 3,25.

Последний результат совпадает с ранее найденным.

Смотрите также файлы