Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

152

Ф УН КЦ И Я И ЕЕ П Р О С ТЕЙ Ш И Е С ВО Й СТВА

ІГЛ. VI

Ay = f{x + Ax) — f{x).

(4)

П р и м е р

1.

Н айти

приращение ф ункции

у =

= 2а:2 + 3.

у +

Ау — 2 (х +

Р е ш е н и е ,

Да:)2 + 3 =

=

2х2 +

4х Ах 4- 2 (Да:)2 +

3;

у -+- Ау =

2х2+- 4а: Да: -(- 2 (Д*)2 +

3

~

у

= 2 х 2 +

3___________ ■

Ау =

4л: Да: -|- 2 (Да:)2.

П р и м е р 2.

Н айти приращение ф ункции I/ =

-J .

Р е ш е н и е .

у 4 Ау = х ^ ^ ;

д

У

___

1

1 ___

X

—

X

— Да: ___

Ах

Ах)

а + Да

X

а (а +

Ах)

а (а +

1. Дана

функция

у

=

Упражнения

ее

приращение, если

х

2

+

1.

уНайти

изменяется:

1)

от 4 до 4,3;

а

от 0 до

0,2; 3) от

2 до 1,5.

2)

2. Найти приращение функции

—

2 2, если

х

изменяется:

1) от

1 до

1,3; 2)

от —0,2 до +0,2; 3)

от 0 до

а

а.

1)

3. Найти

=

приращение

функции

у

=

хг

— 1,

если известно:

у

=

2,

Д

а

0,5; 2)

а ,

=

3, а,

=

—0,6.

X,

функции

=

—

+ 1,

4. Найти приращение

2а 2

А

если

даны;

12

Ах

h.

1)

а

, —

—

3,

Да

=

0,5;

2) Аі =

=

-^ -,

р

і =

1,

Др =

0,4;

найти До.

б. Дано

о =

6. Дано

у

— sin а,

А) =

ту»

ДА =

-р-;

найти

Ау.

А

О

§ об]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е

И ЗО Б РА Ж ЕН И Е

П Р И РА Щ ЕН И Й

153

у7. Найти в

общем

виде

приращение функции: 1) //= Злг +

2,

2)

=

2х2

— 1,

3)

у — Зх2

— 2х,

4)

р =

— х2 — Зл:,

5)

у

=

х3,

6) (/ =

2л:3 — 2л;2, 7) у = х ----

§ 5Q.

Геометрическое изображение приращений аргу­

мента и функции. Пусть дана функция

у — !{х),

график

которой представлен на рис. 81.

х

Положим,

что отрезок

ОР\ =

изображает

первона­

чальное

значение

аргумента;

тогда

значение

функции

при этом

значении

аргумента будет

f(x)

и геометрически

Проведя из точки

МP2M2 = f(x +

Ax).

ОР2}

(2)

( прямую, параллельную

до пе­

ресечения с прямой

Р2М2

в точке

N,

имеем:

ЫМ2 =

Р2М2

-

P2N

=

Р2М2

-

Р хМ и

154

Ф УН КЦ И Я И Е Е П Р О С ТЕЙ Ш И Е С ВО Й СТВА

[ГЛ. VI

тогда

уРР\ =

Ал:,

прира­

получит

щение

QM, = Д у .

Дл:->0

Положим,

что

и пусть

при

этом

А

у

-* О,

т. е.

Дlim* - » - 0

Ду = 0.

Это значит,

что если Ал:—*

—*-0,

то РМордината

Р\М\

М\

неограниченно

приближа­

к точке

М

М.

ется

кAB

,

а точка

y —и, следовательно,f(x) непрерывнана

придуге

данномнайдетсязначенииточка,х.

сколь угодно

близкая Функцияк В

этомy =

f{x)случаеназываетсяговорят, чтоне­

прерывнойфункция

при данном значении х, если бесконечно ма­

О п р е д е л е н и е .

lim Ду = 0 .

(1)

д*-*о

При соблюдении этого условия для любого значения

аргумента в промежутке от

х — а

до

х =

Ь

функция на­

§ 571

Н ЕП Р ЕР Ы В Н О С ТЬ Ф У Н К Ц И И

155

от бумаги, прийти по кривой от точки

А

на левой ветви

к точке

В

на правой. Это

иллюстрирует

нам

непрерыв­

ность функции

У — ~

ПРИ

любом

X,

кроме

л: == 0, где

тают

( г / о о )X.

Например,

функция

=

имеет

у

= —

у

Хі = 2 и

разрыв

при = 3; функция

4~при

х2 —

—

2

и т. п.

няет одно конечное

значение на

другое, тоже конечное.

Такие разрывы называют

разрывами первого рода.

По­

добный пример, представляет функция

У

I

+ 1 ,

если

х ^ О .

=

X

< О,

і — 1,

если

переходе аргумента через

х — 0

(слева направо) функ­

на +

ция меняет значение с —

1

1

.

у

=

П р и м е р .

Исследовать непрерывность функции

=

х\

х

у

Р е ш е н и е .

Дадим

приращение Дх; тогда функция

получит приращение [формула

(3) § 55]

у

2х Ах

+

(Дх)-.

Д =