Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 353
Скачиваний: 10
§ 57] |
|
|
|
|
|
Н ЕП Р ЕР Ы В Н О С ТЬ |
Ф УН К Ц И И |
графике |
|
|
157 |
|||||||||||||
|
Поясним |
сказанное геометрически. |
|
Пусть |
на |
|
непрерыв |
|||||||||||||||||
ной функции |
у |
= |
1(х) |
дана |
точка |
|
М |
|
с абсциссой л: = |
с |
(рис. 84) |
|||||||||||||
и |
точка М |
2 |
с |
абсциссой |
х — с |
+ |
Ах, |
|
тогда |
их |
ординаты соответ |
|||||||||||||
ственно будут: |
|
|
f |
(с) |
|
и |
Р 2М2 |
= |
f |
(с + Дл:) = |
f (X |
). |
|
|
|
а точ |
||||||||
|
|
|
|
РМ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Так как функция непрерывна, то |
|
при Дл:->-0 и Ді/->-0, |
|||||||||||||||||||||
ка |
М2 |
неограниченно приближается к |
|
М. |
Но |
при этом, |
|
как |
видно, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
и |
ордината P2M2 = |
|
|
|
с + |
Ах = |
|
х -> с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
j(x) |
стремится |
|
к |
ординате РМ = }{с). |
|
|||||||||||||||||||
Если |
взять точку |
М\ |
с |
абсциссой |
|
х = |
с |
— Д.ѵ, |
то |
и |
в |
этом |
||||||||||
случае при Дле — 0 |
и |
Д//-*-0, |
а |
точка |
М\ |
неограниченно |
прибли |
|||||||||||||||
жается к |
М. |
Но тогда, очевидно,х = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
X -> с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и ордината |
P tMi = |
f(x) |
с — А |
|
к |
ординате |
PM = |
|
f(c). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
стремится |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Мы видим, что если данная функция |
у — {(х) |
непрерывна |
при |
|||||||||||||||||||
X = с, |
то |
|
равенство |
|
(3) |
выполняется |
|
при |
стремлении |
х |
с |
как |
||||||||||
|
|
|
|
х кк с |
||||||||||||||||||
с правой стороны, так и с левой. Очевидно, верно и обратное утвер |
||||||||||||||||||||||
ждение: если равенство |
(3) |
выполняется при стремлении |
|
|
как |
|||||||||||||||||
справа, так и слева, то функция |
у = |
f(x) |
непрерывна |
при |
х — с. |
|||||||||||||||||
|
то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если |
это |
условие |
нарушается, |
функция |
имеет |
1 |
разрыв. Так, |
|||||||||||||||
на рисунке 80 мы имеем |
при |
х — 0 |
1разрыв |
функции: здесь |
предел |
|||||||||||||||||
ее при стремлении аргумента к нулю справа |
равен + |
|
, |
а слева он |
||||||||||||||||||
имеет уже другое значение, равное — . |
|
|
|
|
справедливость |
ска |
||||||||||||||||
Заметим, |
что равенство |
(3) |
подтверждает |
|||||||||||||||||||
занного в § 47 о том, что для нахождения предела функции доста
точно |
подставить вместо |
аргумента |
его предельное значение. |
||||||
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
||
|
у Исследовать непрерывность следующих функций: |
4 . у = х 3. |
|||||||
Б. |
I. |
у = 2х. |
2 |
у — X2 |
— 3. |
. у — х — 2х2. |
|||
sin |
X. |
|
. cos |
X. |
3 |
|
|||
|
= |
|
6. у — |
|
|
|
|||
158 |
Ф УН КЦ И Я И Е Е П Р О С ТЕЙ Ш И Е С В О Й С ТВ А |
[ГЛ. VI |
Указать точки разрыва функций:
§ 58. Свойство непрерывной функции. Непрерывная функция может изменить знак только при переходе через нуль. Это свойство непрерывной функции легко выяс няется геометрически. В самом деле, пусть (рис. 85)
JC |
0 |
|
х = а |
(точка |
А), |
||
f/( ) > 0 при |
X |
|
b |
В). |
|||
(x ) < |
|
при |
= |
|
(точка |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если изменять непрерывно значение абсциссы от а до Ь,
то график функции |
в силу его непрерывности должен |
У |
|
О |
|
Рис. 85. |
Рис. 8 6 . |
пересечь ось Ох. В точке же пересечения кривой с осью абсцисс значение функции равно нулю.
Если непрерывная функция меняет знак подряд не сколько раз, то график ее пересекает ось Ох столько же раз (рис. 8 6 ). Ясно, что эта функция сохраняет один и тот же знак в промежутке между двумя соседними точ ками пересечения ее графика с осью Ох (между А и В значения функции отрицательны, между В п С — поло жительны), а также для всех точек слева от А (функция положительна) и справа от С (отрицательна).
§ 59. Виды функций. Функция называется явной, если уравнение, задающее ее, разрешено относительно этой функции, и неявной — в противном случае.
Например, у == 2х2— лг + З есть явная функция, а в уравнении х ^ - у = 12 функция у задана неявно. Однако
§ 59] |
ВИ Д Ы |
Ф У Н К Ц И Й |
159 |
функцию, заданную последним уравнением, можно пред ставить и в явном виде; действительно, решив это урав нение относительно у, получим у = 12— х. Но в более сложных случаях часто бывает невозможно сделать та кое преобразование.
|
Функции делятся |
на |
два |
класса: |
алгебраические |
и |
|||||||||||||||||||||
трансцендентные |
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ментом которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Алгебраической называется такая функция, над аргу |
||||||||||||||||||||||||||
ческих |
|
|
|
|
|
|
производится конечное |
число алгебраи |
|||||||||||||||||||
|
операций |
|
сложение, вычитание, умножение, де |
||||||||||||||||||||||||
ление и |
возведение в рациональную степень). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
у = |
( |
|
|
|
г— |
|
у — |
4х^ |
*** |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
Например, |
2х2 — |
3 |
у х |
-f 1, |
х |
|
|
|
алге |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц_- 3- суть |
|||||||||||||||
браические функции. |
называется |
всякая |
|
неалгебраиче |
|||||||||||||||||||||||
|
Трансцендентной |
|
|||||||||||||||||||||||||
ская функция. |
у = |
ах, |
|
у = loga х, |
у |
= sin х, у = |
arcsin х |
||||||||||||||||||||
|
Например, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
суть трансцендентные функции. |
|
|
функциями |
являют |
|||||||||||||||||||||||
|
Простейшими трансцендентными |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
. |
Показательная |
функция |
у — ах, |
где |
аргумент яв |
||||||||||||||||||||
ся: |
Логарифмическая функция у = |
|
|
||||||||||||||||||||||||
ляется |
показателем степени. |
|
|
|
loga x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
у = |
2. |
|
X, у |
|
|
|
|
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3. |
Тригонометрические функции: |
|
г/= sin я, i/ = |
cosx, |
||||||||||||||||||||||
|
Обратные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
tg |
|
|
|
=у |
c tg |
|
тригонометрические |
функции: |
у — |
||||||||||||||||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
arcsin |
X, |
|
= |
|
arccos |
х, |
у — |
arctgx, |
у |
= |
|
arcctgx. |
дано |
|||||||||||||
|
В з а и м н о |
|
|
о б р а т н ы е |
ф у н к ц и и . |
|
|
Пусть |
|||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
У — х3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
где у — функция х. Выразим отсюда х через у:
Заменив в уравнении ( |
2 |
xх= t yу,. |
|
у |
на |
х, |
получим: |
(2 ) |
||||||||
|
)у =на а |
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ х . |
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
у, |
заданная уравнением(3), называется |
обрат |
|||||||||||||
ной |
по отношению |
к |
функции |
|
у, |
заданной уравнением |
||||||||||
( |
1 |
); обе же функции |
( |
1 |
) и (3) |
взаимно обратны. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
160 |
|
Ф УНКЦ И Я |
И ЕЕ |
п р о с т е й ш и е |
|
с в о й с т в а |
|
|
|
[ГЛ. VI |
||||||
у = Например, |
у = |
sin * |
и |
у |
= arcsin |
х |
|
|
х |
^ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ах |
и |
y = |
\ogax |
суть |
|
попарно |
|
взаимно |
обратные |
|||||||
функции. |
|
отметить, что графики взаимно обратных |
||||||||||||||
Интересно |
||||||||||||||||
|
Уі |
|
tl |
|
|
|
|
функций |
|
симметричны |
отно |
|||||
|
|
|
/ |
|
|
|
сительно биссектрисы |
пер |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вого |
и |
третьего |
|
координат |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных углов. Это следует из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
самого |
определения |
обрат |
||||||
|
|
О |
|
|
|
X |
|
ной |
функции. Действитель |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
но, |
в |
приведенном |
|
выше |
|||||
/// |
/1 у / / |
|
|
|
|
|
определяют одно и то же |
|||||||||
// // |
|
|
|
|
|
|
геометрическое |
место |
|
точек, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
представля |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ются одним и тем же графи |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ком. Далее, так как функ |
||||||||
|
|
рпс |
|
|
|
|
|
ция |
(3) |
|
получаетсяу, |
из функ- |
||||
|
|
8 7 |
|
|
|
|
ции |
( )X просто |
переменой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
и |
|
то |
|
график |
||
|
|
|
|
|
|
|
1ролей |
|
|
|
||||||
функции (3) получается симметричным отражением |
||||||||||||||||
графика |
данной функции |
( ) относительно |
биссектрисы |
|||||||||||||
первого |
и третьего |
координатных углов (см. рис. |
|
87). |
||||||||||||