Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 351

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П Р О И З В

Г Л А В А VII

 

О Д Н А Я Ф У Н К Ц И И

§ 60. Равномерное движение и его скорость. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно. Это значит, что в каждую единицу времени оно проходит одно и то же расстояние, называемое скоростью этого движения. Закон равномерного движения выражается формулой

s = v t + sQ, -

(1)

представляющей собой функцию первой степени (линей­

ную функцию), а геометрически — прямую линию.

 

и

Обратно, всякая линейная функция вида

(1), где

ѵ

S j—-постоянные величины, выражает закон

равномер­

ного прямолинейного движения. Чтобы в этом убедиться,

найдем

расстояния,

пройденные телом

 

к моментам

11

и

 

и

t2.

Подставив

в равенство

(1)

вместо

t

значения

ty

іг,

получим:

 

 

 

 

S| =

Vty

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-f- S ,

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

S2 =

vt2

-|- SQ.

 

 

 

 

 

s

2

— Si =

(vt2

+ s0) —

(üty

-f- S0) =

V (t2 — ty)

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$2

— Sl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

—

tl

 

 

V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив приращение пути Sz — Sy через As, а прираще­ ние времени t2— ty через At, напишем:

As =

V.

(2)

~Ел

 

 

Равенство (2 ) показывает, что отношение пройденного телом пути к промежутку времени, в течение которого

6 И. Л. Зайцев

162

П РО И ЗВ О Д Н А Я Ф УН К Ц И И

[ГЛ. VII

путь совершен, — величина постоянная.

Поэтому

этот

As

представляет скорость равномерного движения.

-д^г

Следовательно, линейная функция s = vt + S0

выражает закон равномерного прямолинейного движе­ ния, причем и есть скорость этого движения.

§ 61. Неравномерное движение и его скорость. Кроме равномерного движения, в природе имеет место и нерав­ номерное движение. Закон его выражается уже не уравнением первой степени, а более сложным

..Q уравнением. Пусть, например, дана функция

■..ß3

 

 

выражающая

 

 

 

s =

4,9*2,

 

 

тела. Так

как па-

 

 

закон

 

падения

 

 

 

Д

 

 

денне тела4— движение неравномерное, то возни-

 

в

 

 

 

 

 

 

кает

вопрос, как

определить

 

его скорость в ка-

 

2

 

 

кой-нибудь

 

момент

времени. Поступим

следую-

"fy

 

 

щим образом.

 

8 8

в

 

начале

 

падения

тело было

 

 

 

 

 

Допустим,

что

 

 

 

 

 

 

 

в точке О

(рис.

 

 

). По истечений времени * оно

 

 

 

 

пройдет путь, равный

 

 

4,9*2,

 

 

 

 

■ ■ В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и окажется

 

в точке

А,=

 

 

 

 

времени

 

 

 

 

 

 

 

 

а по прошествии

Рис. 88.

 

* +

А* от начала 2движения совершит* )

путь

 

 

 

 

В.

 

 

 

s

 

= 4 ,9 ( * +

 

A

2

 

 

и будет

в точке

 

 

Отрезок

 

пути,

пройденный телом за

время

A*, будет:

 

 

 

 

t f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

=

s

2

-* 2

s, = 4,9 (f +

A -* ) 24,9f

2

=

 

 

= 9,8* A* +

4,9 (A*)2.

 

 

 

* 2

 

=

4,9

+

9,8* Д* +

4,9 (Д

 

 

-

 

4,9

 

 

Разделив пройденный путь s

2

—

su

равный As, на время

А*, получим:

 

9,8/

At +

4,9 (А/)2

=

 

9 ,8 *+ 4,9 А*.

 

( )

 

 

 

 

 

As

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

At

 

 

 

 

At

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результат деления — называется средней скоростью падения тела на участке пути AB — As,

§ 611 Н ЕР А В Н О М ЕР Н О Е Д В И Ж Е Н И Е И ЕГО СКО РО СТЬ 163

Однако средняя скорость движения тела не выражает истинной скорости в любой момент времени. Так, напри­

мер,

когда говорят, что поезд идет . со скоростью

50

км/час,

то это не значит, что он движется с этой ско­

 

 

ростью во всех точках своего пути; отходя от станции, поезд постепенно увеличивает скорость, доводит ее до наибольшей величины, затем замедляет движение, пока не остановится на следующей станции. Таким образом, на одном участке пути его скорость меньше 50 км/час, на другом — больше, в среднем же — 50 км/час.

Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше участок пути, на котором она определена;

поэтому положим, что промежуток

времени

А/ падения

тела уменьшается, тогда и путь

AB = As

будет

умень­

шаться, становясь равным

А В и АВ2, А В 3

и т

д. (рис.

8 8

“),

 

At

 

 

и для каждого нового значения

 

отношение -^j-

будет

определять среднюю скорость падения тела на участке пути, все более и более коротком. Положим, что А/—► (),

As

тогда / + Д/ —► /, а отношение-^- будет стремиться к ве­

личине, называемой скоростью в данный момент времени t, что соответствует скорости в точке А.

Обозначив эту скорость через ѵ, запишем:

As'

Пт А/ ' (2) д*->о

Таким образом, скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t есть предел средней скорости в промежутке времени от t до t + At, когда

Д / -* 0 .

 

 

 

t:

и (2), найдем ско­

Приняв во внимание равенства (I)

рость паденияѵтела в момент

 

 

=

lim-

(9,8/-f-4,9 А/) =

9,8/.

Итак,

Af

> 0

V - - 9,8/.

 

 

 

 

 

 

Упражнения

1. Найти скорость тела, движущегося по закону,

s = 3t — 5.

164

 

 

 

 

 

 

 

П РО И ЗВ О Д Н А Я

Ф УН К Ц И И

 

[ГЛ. ѵ п

 

 

2. Найти среднюю скорость движения

тела,

совершаемого

по

закону s =

2t2,

для промежутков времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

от

ti

= 2 до

<2 =

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

от

 

 

—

6 до

/2 =

10.

 

 

 

 

 

3. Закон движения тела выражается формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s= < 2+ .

 

 

 

 

 

 

Найти

среднюю скорость

движения

1

 

для

промежутка времени

тела

от

1

до <2,

если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) у, = 2, <2= 3;

 

 

 

3) /, = 2, /2= 2,01;

 

 

 

 

 

 

2) < , = 2 ,

<2 =

2,І;

 

 

4)

<, =

2,

<2 =

2,001.

 

Результаты вычислений записать в таблицу и проследить за изме­

нением средней скорости.

 

 

 

 

 

тела

в момент времени < =

2, есл

 

 

4.

 

Найти

 

скорость движения

закон движения дан формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

=

4<2 — 3.

 

s =

3<2. Найти:

 

 

 

б. Закон движения тела дан формулой

от

<і =

1)

среднюю

 

скорость

движения

 

за

 

промежуток времени

 

2 до <2 = 5;

 

 

 

в моменты <і =

2 и <2 =

5.

 

 

 

2)

скорость движения

 

 

 

§ 62. Скорость изменения функции. Определять ско­

рости

приходится

не

только в случае движения, но и

при изменении

 

любой

переменной

 

величины, имеющей

физическое содержание (скорость испарения жидкости,

скорость

реакции

и т. д.).

 

 

у,

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

переменная

величина

характеризующая

ка­

кой-либо процесс изменения, есть линейная функция дру­

гой переменной

х,

т. е. y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx +

b]

 

 

 

 

 

тогда отношение

,

как и в случае равномерного дви­

жения (§ 60), будет постоянной величиной, равной к, т. е.

(О

Величина k, показывающая, сколько единиц прира­ щения линейной функции приходится на единицу при­ ращения аргумента, называется скоростью изменения линейной функции при любом х.

§62] СКО РО СТЬ И З М ЕН ЕН И Я Ф УН КЦ И И IC5

 

 

Если

 

же

величина

у

представляет

функцию

иного

вида, то отношение

Д

г /

 

по аналогии с

неравномерным

— ■

движением (§ 61)

определяет

среднюю

скорость

изме­

нения у

 

для

промежутка значений

аргумента

 

от

х

до

 

+

Ах.

 

 

 

X

 

 

А х-+ 0

 

 

 

 

 

х

А х - * х ,

 

 

 

 

 

 

Прискоростью

будемизмененияиметь:функции при даннома средняях.

скорость изменения функции стремится к величине, на­

зываемой

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив эту скорость через

 

унапишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

V

 

ДДа

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

Д х - > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорость

 

изменения

 

функции при

 

 

 

до х + Ах, когда Ах

 

 

 

 

 

 

данном X есть предел средней скорости ее для проме­

жутка аргумента от х

 

Р

 

 

 

 

 

-> 0.

I

 

 

 

 

 

Разберем несколько примеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1.

Вес

 

 

в

килограммах

однородного

стержня

 

выражается

формулой Р — 0,5/,

 

где

 

— длина

стержня в метрах. Определить скорость изменения веса стержня с изменением его длины.

Р е ш е н и е . Так как

Р

— функция первой степени

 

относительно длины /, то в данном случае имеет место

равномерное

 

изменение. Следовательно,

скорость

 

из­

менения веса

Р

при любом значении длины / будет со­

гласно формуле

(

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это

значит,

 

что при удлинении

стержня

на 1

м

 

вес

его увеличивается на 0,5

кГ.

 

 

 

 

его

 

П р и м еТр

 

2. При нагревании тела температура

 

Т

изменяется

в

зависимости от

времени

нагревания

t

по закону

=

0,4

12.

 

 

 

 

t

 

 

 

С

какой

скоростью нагревается тело в

момент

=

 

 

 

 

=1 0 сек.?

Ре ш е н и е . Данная функция второй степени и вы­ ражает закон неравномерного изменения, а потому для решения задачи применим формулу (2 ), причем для нахождения предела поступим так же, как это мы де­ лали при определении скорости падающего тела (’§ 61).

В момент / = 10 температура'тела Ту = 0 ,4 • ІО2 = 40.

»

»

t = \0

At »

»

72 = 0, 4(10 + At)2.

Смотрите также файлы