Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 83]

ПРО И ЗВ О Д Н АЯ Н ЕЯ В Н О Й Ф УН КЦ И И

203

Р е ш е н и е . По формуле (XVIII)

находим

У ' = - V (/ 2 7 )'

7 )2

'

1- (/ 7

Но по формулам (VIII) и (V)

Следовательно,

2 /2 7

2/2JC

V2x‘

__

, _

Y (/27)'_____________1________ (2*У

*

1_(/27)2

YY^Yx

' 2/27

_

у 1—2хI

’

_2

____________1

_

2 /27

/2л: —47» '

Найти

Упражнения

производные функций:

*1.

у =

arcsin 2л;.

*

2.

у

=

arccos

°

3.

y = arctg3A:.

4.

f (0 = arctgt

Y t.

5.

f(x) =

arcsin / x .

6.

u = arcctg /7 7

7.

5 =

arcsin 2.

8. <p =

(arcsin л;)2.

9.

} (x)

=

(arccos Зл;)2.

10.

=

arctg e4*.

1

12. г/ = arccos — .

Ѳ

11.

S =

arcsin I ’

J

X

Найти

22. f {t) = а arcsin -~ +

/ а 2— t2. 23. / (t)=t arctg —----

— у

у —ln(a2+ t 2).

24.у — у

1ny~f

~ +"^r arctg x. 25.^f e r c lg ^ / ^Еf -+ікЛl '

28.

arcsin

— . 27.

(x)=arcsin ------ —. 28.

(x)=arctg

.

V l + x

2

у

x 3

a2 + x 2

-jr

-jr

1—ал;

29.

Ѳ = arctg

--fo

=

arctg

x

—

л:2 +

(p

g . »30.

j

D

ln (л:2 + 1)-

§ 83.

i “

O

функ­

Производная

неявной функции.

Пусть неявная

ция

у

задана

уравнением х у - х — 1 = 0 .

(1)

Найдем

производную / ,

полагая, что она существует. Для этого

дифференцируем обе части уравнения (1),

применяя

правило для

производной

алгебраической суммы.

204

ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

Получим:

(ху)'- (*)'-(1)' = о.

( 2)

неявные функции,

которые

обратить

в явные очень трудно и даже

невозможно.

Например, функцию

у

,

заданную

уравнением

ху

+

+

X —

sin

у,

явно

выразить нельзя. Поэтому приходится дифферен­

цировать такие функции как неявные.

требуется

найти производную

Разберем другой

пример. Пусть

неявной функции

у,

заданной уравнением

Применяя

правило

у2

—

8х =

0.

алгебраической

суммы,

дифференцирования

имеем:

(у2)'

— (8х)' = 0.

(4)

у2

у

у, а у

Но

— сложная

функция

(

2

зависит

от

зависит

от

х).

§ 84]

П РО И ЗВ О Д Н АЯ ВТО РО ГО П О РЯД КА

205

Следовательно, равенство (4) примет вид

или

yif — (8х)' —

2 Чуу" — 8 =

0,О,

откуда

У ~ 2у =

4_

у *

13.

ху =

sin у.

14. х2 = е>.

15.

ху =

ех+ѵ. 16.

arcsin у == X2•

§ 84. X,Производная

второго

порядка. Пусть

функция

y — f(x)

имеет производную

y' =

f'(x).

Производная от

изводной

f'(x)

по

если она

существует,

называется

второй про­

или

производной второго порядка.

Вторую производную функции

y =

f(x)

принято обо­

значать так:

У",

у",

f"{x).

функции

У ~

ПXр2

и’ м е р .

Найти

вторую

производную

1

Р е ш е н и е ,

у'

=

х~2)'

= —

2х~3,

( _

) = (

-

.

у" =

2

х - 8)'У п=р а ж-н е н и (я

3*-«) =

Найти

вторые производные функций:

Q =

2V~u.

f1.

у =

4 * + 1 .

2.

у =

х3.

3. д=

3/г +

2 < - 1 .

4.

у

5.

( i ) =

2< 7~ 1■ .

6.

=

(х2

— 1)^.

7.

Па)

=

j

cos 2а.

8.

/ (t) =

esln *,

9.

s =

2

l n - ^

j .