Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 343
Скачиваний: 10
§ 81] |
|
|
П Р О И ЗВ О Д Н Ы Е |
П О К АЗАТЕЛ ЬН Ы Х |
Ф УН КЦ И И |
|
199 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
производная |
показательной функции |
у — аи, |
где |
||||||||||
и — f (х |
|
равна произведению |
трех |
множителей, |
пер |
|||||||||
вый |
из |
которых |
|
сама функция, второй |
производная |
|||||||||
т. е. |
|
), |
|
|
третий |
|
натуральный |
логарифм |
осно |
|||||
показателя и |
|
— |
|
|
— |
|
|
— |
|
|
|
|||
вания. |
|
|
и = |
х |
|
|
(XVI) |
запишется |
в |
сле |
||||
В |
случае |
|
|
|
формула |
|||||||||
дующем виде: |
|
|
|
(ах)' = ах 1па. |
|
|
(ХѴГ) |
|||||||
Если дана показательная функция
где и — функция х, е — основание натуральных лога рифмов, то ее производная найдется по формуле (XVI ):
Итак,
(XVII)
и |
= |
производная |
показательной |
функции у |
|
еи, |
где |
||||||
f (х), |
равна произведению самой функции |
на |
про |
||||||||||
|
|
показателя. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||
изводнуют. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
При и = х |
имеем |
{ех)'=--ех. |
|
|
|
|
(XVII*) |
||||
|
|
П р и м е р |
I. Продифференцировать |
функцию |
|
||||||||
|
|
Р е ш е н и е . По |
правилу (XVII) |
находим |
|
|
|
||||||
|
|
П р и м е р |
У'х~ |
ßSln * (s*n |
ХУ~ ßSlnх |
|
х’ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|||||
|
|
2. Продифференцировать |
функцию |
|
|||||||||
у- е*в2*.
Р е ш е н и е . По правилу (XVII) напишем
У'х = etg 2* (tg 2а:)'.
По правилам (XII) и (V) имеем
200 ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я [ГЛ. VIII
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
{ets 2 |
*)/ = |
|
еъ 2Х |
(tg |
2 X)' |
= |
е'г 2* - g * |
|
|
|
2etg 2jt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
— I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
производные функции: |
|
|
|
|
|
|
ex |
4. у ■■ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
^ |
|
1. |
у — хех |
— |
ех. |
|
2. |
S = |
e* |
|
t. |
3. |
|
f (x) ■■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
а ' хУ7. ’f In |
|
|
|
|
V 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
9. Ѳ er + I • |
||||||||||||||||||||||
5. |
|
P = |
|
e2hs£ . f (x) |
|
|
|
|
|
(x) = |
asin |
у = |
|
xe2x. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
f{p) = |
|
a p . |
'Д і . |
|
у = |
|
x2e~2x. |
|
|
12. |
f(x) = |
xnnx . |
|
|
13.у |
S = |
|
ln<?'. |
|||||||||||||||||||||||||
|
S = |
elni. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
H O |
= |
|
sine'. |
|
\>6 |
/ (/) = |
e2 sl" '. 1/І7. |
|
|
= |
cos |
e~l. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
J |
|
|
V< |
|
x. |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
co |
|
/e®. |
||||||||||
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
18. |
|
у |
= |
|
ex |
ln |
19. |
(со) = |
I n---------- . |
|
20. Ѳ = sin V . |
|
21. |
|
г |
= |
cos |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ em |
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
X |
|
se ^ x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
cose*. |
|
|
|
|
|
23. |
/ (/) = |
In ecos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
—ter /> |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
Jn*x |
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos— . |
||||||||||||||
V |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
R -- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hx) = |
|
e a |
|
|||||||||||||||||||||
25. |
|
= |
|
tg e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||
28. |
|
у |
= |
|
ecos |
x |
sin |
x. |
|
29 |
f {x)= ± ( e a - e |
|
fl). |
|
|
|
' |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
0 = |
|
е2ф cos 2q>. |
||||||||||||||||||||
31. |
|
/ (*) = |
|
eax (sin ax—cos ax). |
32. у -■ |
|
|
|
|
|
-. |
|
33. y = ln |
|
|
|
ex |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ex + |
e~ |
|
|
V \+e2x' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
35. Написать |
|
уравнение |
касательной, |
проведенной |
|
к |
|
кривой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
у = |
|
е |
2 |
|
л |
в точке ее |
пересечения |
с |
осью |
|
Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
35. Зависимость |
|
между |
количеством |
|
|
вещества, получаемого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в некоторой |
|
химической |
|
реакции, |
и |
|
временем |
|
выражается |
|
|
урав |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
нением х = |
|
-4(1 — |
е~ЛІ). |
|
Определить скорость реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
§ 82. Производные обратных тригонометрических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin«, |
|
где u — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I) |
||||||||||||||||||
|
|
|
I. |
|
Дано |
|
|
у |
= |
|
|
f ( x ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Из определения арксинуса следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
sinу |
у — сложная |
|
|
|
|
|
siny = |
|
u, |
|
|
согласнох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|||||||||||||||||||||||
функция, |
так |
|
как |
|
|
равенствам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
1 |
) |
у |
|
зависит |
|
о |
т |
|
и , |
|
а |
и |
|
зависит |
|
от |
х , |
|
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
— функция |
|
X. |
|
Дифференцируем |
|
по |
|
|
обе |
|
|
части |
|
ра |
||||||||||||||||||||||||||||||
венства |
|
( |
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin уУх = |
|
и'х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 321 О БРАТН Ы Е Т Р И ГО Н О М ЕТ Р И Ч ЕС К И Е Ф УН КЦ И И 201
По формуле |
(X) находим ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
у |
У'х = и ' х, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
известно, |
|
|
|
|
Ух |
|
cos у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Но, |
|
как |
|
|
у = |
У 1 |
|
2 у |
*). |
(3) |
||||||||||||
Приняв |
во |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
— sin |
|
|
получим |
|||||||||
внимание |
равенства |
(3) и (2), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U г |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
Ух |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
п |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — sin2 |
|
V I |
|
|
|
|
|
(XVIII) |
||||
При |
и |
= |
к |
|
(arcsin и)' |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
равенство |
х (XVIII) |
|
примет вид- |
||||||||||||||||
|
II. Дано |
|
|
(arcsin |
) ' : |
|
Ѵ \ - |
X2 ’ |
(ХѴ ІІГ) |
|||||||||||||
|
|
у — arccos и, |
|
где |
|
u = f{x ) . |
|
|||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
arccos« = |
— — arcsin и, |
|
|||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
(arccos |
и)' |
= 0 — (arcsin |
и)', |
(XIX) |
|||||||||||
или |
|
и = |
х |
|
|
(arccos MV — |
Ѵ \ - и2 ' |
|||||||||||||||
При |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tL |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
х)' — |
|
|
|
|
|
|
(XIX*) |
|||||||||
|
III. Дано |
|
(arccos |
|
|
|
|
V 1 - х 2 ' |
||||||||||||||
Из |
|
y = |
avdigu, |
|
где |
u — f{x ) . |
|
|||||||||||||||
|
определения арктангенса |
следует |
|
(4) |
||||||||||||||||||
|
*) Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
t g y |
= |
u. |
|
|
так как |
значения arcsin и |
||||||
|
радикал берется с |
плюсом, |
||||||||||||||||||||
заключены между — |
я |
|
и |
|
, |
я |
|
|
а в указанном промежутке cos# |
|||||||||||||
|
|
+ |
— , |
|
|
|||||||||||||||||
имеет положительные значения.
202 |
Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я |
[ГЛ. VIII |
Дифференцируем по х равенство (4), применяя фор мулу (XII):
|
|
|
У х |
= |
и' |
отсюда |
|
|
cos2 у |
|
х> |
|
|
У'х — cos2 у |
■ и'х. |
||
Но |
COS |
ѵ |
— ----2 у |
= |
-ГГіI + tff29 Уг |
поэтому |
2 |
У |
1-- |
1 |
|
|
|
sec5 |
|
|
|
,и'х
или, |
согласно |
Ух |
|
|
t + tg2 у ’ |
|
|||||
равенству |
(4), |
и'х |
|
|
|||||||
Следовательно у |
У х |
|
= |
1+ «2 • |
|
||||||
|
|
и)' |
|
1+в, . |
|||||||
При |
и — X |
(arctg |
|
х)' |
|
|
|
• |
|||
|
имеем |
|
|
|
|
|
|||||
IV . Дано |
(arctg |
|
где u — f{x ) . |
||||||||
у = arcctg и, |
|||||||||||
Так |
как |
|
arcctg ы = |
у |
— arctg и, |
||||||
то |
|
|
(arcctg и)' — 0 — (arctg и)', |
||||||||
или |
|
|
( a r c c tg « ) ;- |
|
1 |
+ |
ц2. |
||||
При |
и — х |
|
|
|
|||||||
|
|
(arcctg |
х)' — |
|
i + x f |
||||||
П р и м е р . Продифференцировать функцию |
|||||||||||
|
|
|
у |
— arcsin |
У 2 х . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(XX)
(XX*)
(XXI)
(ХХГ)