Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

194

ФОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

Умножим

числитель

и

знаменатель

полученной

дроби в Iправой

части равенства на

Аи.

Получим

n

(■ +4

)

Ли

и ІП

А*

А*

• + 4 ) - £ - о

Положим

А и

А

А

и — а.

так:

(2)

Тогда равенство

(1) перепишется(

или

после

-г - =

------- ln

1

Ч-а)-

-т—,

A .V

и

а

4

'

Ах

потенцирования

1

+

« ) % .

(3)

Так

как

£ и

-

>

(

по

х,

то

функция

>

имеет производную

Аи

при

Дх-э-О

(§ 64);

но тогда

из

— 0

равенства ( ) следует,

что

и

2

при

А х -* О

(4)

а -»-0

^ведь в дроби

знаменатель

и

не зависит от

Ах,

по­

0

).

этому его

можно

считать

постоянным при Д х ->

4-й шаг: Найдем предел в обеих

частях

равен­

ства

(3),

применяя

правило

(IV)

§ 45:

Аи

=

lim

А

и

lim [ln(

1

+

а)“ ] д lim* - о

К

A J C -»-O

х

Д д

. 0

>

Ах

Ах

(здесь постоянный — т.

е.

не

зависящий

от

— мно­

житель

мы

вынесли

за

знак

предела). Принимая

во внимание

(4),

получим

У'х=

Т

lim [ln(l + а ) “ ]

lim

***

(5)

Займемся

и

а

->0

Ах->0

выражением

(1

+

а)

(в)

lim [ln

§ 79]

ПРО И ЗВО ДН АЯ

л о г а р и ф м и ч е с к о й

ф у н к ц и и

195

равенВ подробныхлогарифмукурсахпределаанализаэтой доказываетсяпеременной.

следую­

щая теорема:

предел

логарифма переменной величины

Следова­

тельно,

lim fin

( 1

+

ct)a ] = ln [lim

(1

+

а)а ] .

7

( )

lim (1 - f а)а = e

(§

50);

поэтому,

а-»0

в

правую

часть

равенства (7)

подставив

е

вместо

а-і»т (

1

+ а ) а ,6

получим

пе =

1

.

Итак,

0

выражение ( ) равно единице, а потому равен­

ство (5) принимает вид

Дlimх -> 0

Ди

1

,

или

-т—д *

“

*

(In ы)' =

— .

(XIV)

'

'х

и

производная

нату­

номуПолученнаяот деленияформулапроизводнойчитается так:по

х

аргумента

лога­

рального логарифма у — \пи, где u — f(x), равна

част­

рифма на этот аргумент.

(XIV)

преобразуется

в

сле­

При

и — X

формула

дующую:

(Іп*)' =

| .

(XIV*)

196

Ф ОРМ УЛЫ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

ИЛИ

0,4343,

(XV)

производная десятичного

и

[ (х),

равна

произведению

логарифма y — \gu, где

производной

натураль­

ногот. е. логарифма на постоянный множитель

0,4343.

=

При и =

X имеем

ж)'

= ^ -0 ,4 3 4 3 .

(XV*)

П р и м е р

1.

dg

функцию

Продифференцировать

у =

2

1

).

и ~

Р е ш е н и е .

In ( л: +

при

2

л:+

1

, по­

По правилу

(XIV),

лучим

у'х

=

[In

(2х

+

1

)]' =

функцию

П р и м е р

2.

Продифференцировать

у =

ln cos

(1

— JC).

Р е ш е н и е . По правилу

(XIV) найдем

x)Y

у'

= [In cos (I

— x)Y

[cos (I — x)

cos (I —

По

правилу

(XI)

-

x)' =

[cos (1 —

x)\

=

— sin (1 — л:) (I —

—

— sin

(1

—

x)

•(—

1

) =

sin

(1

— je).

запирать следующей цепочкой равенств:(

=

У'х = [ln cos (I -

x)Y =

~ l" (Y - x ) ‘ tcos

1

“

=

cos ( h x )

•

sin

-

*Y =

cos (1

:)] •

(

t g ( l — x),

П р и м е р

3.

• [— s m ( l -

A

— l) =

Продифференцировать

функцию

§ 80]

П РО И ЗВ О Д Н А Я С Т Е П Е Н И

П РИ ЛЮ БОМ П О К А ЗА ТЕЛ Е

197

Р е ш е н и е . Сначала преобразуем данную функцию,

применив правило логарифмирования корня:

у = Т 1

~Ь 2х

ции последовательно

правила

(V),2х (XIV),

(VI),

найдем

'/==4

[1п(-

+

'2х)і

2-х

ш

-

1+

_ _

(1

-Ь 2JC) (1

+ 2 х - 2 х )

_

+ 2 х )

2х)г

2 х ( \

1

2* (1 +

Упражнения

у =

х

у

2х.

Найти производные функций:

3. f (ы) = JiL fi-.

4.

= lg

1

Іп х .

2.

Ѳ =

/ (1п /Г— 1).

5.

f (х) = 2

lg (*

у

1).

Найти

f

i).

1).

f

и = 1 п -^ -.'

+

(0 .^6 . s =

1п(/2-

7.

8.

/=1п sin а. 9.

1 2 -

= 1 п 2 д г . а 1 3 . « = 1 0 1 n ^ ^ .

1 4 . f ( x ) = I n 5 _ ± ^ .

=У— ln cos /.

10.

(7)=1п (2 cos

11.

(Ѳ)=1п tg 0.

Найти

-~ j.

16. у =

ln (In х).

^ 17.

у = In2 X2.

15.

f (х) — ln ^ 1 +

19.

18.

у = ln

j" £

a .

f (//) =

ln sin у .

^20. у =

In3 sin x.

21.

f (x) =

ln sin

Ü22. s =

In tg-^-.

23.

y — \n2V~lic.

^24.

у

X.

(|25.у

у

=

— tg2x

X

+

x.

26.f (x)s == ln cos2(1V ;a 2 —x02.

у —= K ln tg

=

ln cosx.

27.

ln sec2 x.a28.

In sin

— — sin2

29.

In

+

.

30.

y = l n t g ( - J +

y ).^ 3 1 . y =

ln ( x + V T +

P ) . 32. y =

I n ( l+ x +