Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 341

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

208

3)

 

 

 

 

 

Ф ОРМ УЛЫ

 

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

 

 

[ГЛ,

VIН

 

 

 

 

 

 

 

через

сколько

секунд

тело

достигнет

 

наивысшей

точки и

на каком расстоянии от поверхности земли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

Тело движется

прямолинейно по закону

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s =

 

ае‘

+

Ье~1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

а

 

 

в 6 — постоянные

 

 

 

 

Показать,

что

ускорение s его

 

 

 

величины.

 

движения всегда равно пройденному пути.

 

 

по закону

=

 

 

 

1C. Тело

совершает прямолинейное

движение

 

=

a e ht.

 

Определить скорость и ускорение движения в момент 1=0.

 

17.

 

 

 

 

 

 

 

Пуля, попадая

в

твердое

тело,

движется

в

нем по

закону

где

 

Do — скорость,

 

 

s =

-гк- ln (I

+

 

ka0t),

тело,

k

— постоянная

 

с которой пуля

входит в

 

положительная величина. Найти ускорение движения пули.

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

 

Найр;

силу

F,

 

действующую на

материальную

точку

мас­

сы

 

т,

 

которая движется

прямолинейно по закону, заданному одним

из следующих уравнений:

 

2/3 — /2

при

1 =

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) s =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

s =

sin 2/

 

 

>

1

8*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

s ==

e2t

 

 

 

/ »==■ 0.

материальную

точку

 

 

З а м е ч аFн и еmj.. Сила,

действующая

на

 

»гаіты m, равна произведению массы точки на ускорение ее дви­

жения,

 

т.,е.

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

т

Определить силу, под действием которой материальная точ­

ка массы

совершает колебательное движение по закону

 

 

 

 

 

20.

 

 

Точка массы

 

s =

 

А

sin (ш/ + <й0)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движете* по закону

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

а,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s*=at2 +

Ы

+ с,

 

что

сила, действую­

 

 

 

ft и с — постоянные ..величины. Доказать,

щая на точку, постоянна.

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

 

 

 

 

Точка

массы

совершает

колебательное движение

около

положения равновесия

О поX

закону

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

— расстояние точки

от

=

a

sin 2яѵі,

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О;

а

и

ѵ — постоянные величины. По­

казать,

 

что

действующая

сила

пропорциональна

расстоянию

точ­

ки от О.

Точка движется так, что ее скорость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а и ft — постоянные величины. Найти ускорение движения как функцию скорости.

23.

Точка движется прямолинейно по закону s = Y t - Пока­

зать, что

 

1)движение замедленное,

2)ускорение движения пропорционально кубу скорости.

§ 85]

М ЕХ А Н И Ч ЕС К И Й СМ Ы СЛ ВТОРОЙ П РО И ЗВО ДН О Й

209

 

Т а б л и ц а ф о р м у л д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

[

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

V

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

ПриусловииЦ, Dиад—функцииX

(и + о

—

ш)' = и' + ѵ'

—

W

 

 

 

=

uv

+

 

 

(uv')

 

ou'

 

 

(сиУ — cu'

 

 

 

SJ и у

 

ѵи — иѵ

 

 

\ о )

 

9

V1

 

 

 

(итУх = тит- ‘и'х

 

 

 

 

 

,-Л у и

 

 

 

(-)' - - ^

 

 

 

\и 1X

 

 

и2

 

 

fsin и)х = cos и -и'х ~

(cos и)'х =» —sin и •и'х

(tg

 

/

 

г

 

 

и)

ак

 

 

*

—

-- j—

 

 

 

 

 

cos2и

 

 

(ctg ц)' = --- ----

 

 

Б

 

г

 

 

и'х

 

 

 

X

■

.

sin2 и

 

 

 

,

иг

 

 

 

(In «)і

for'.

 

 

 

 

 

 

 

(lg«)'=л,

их

 

 

 

-и£ .0,4343

 

(а“Ух= а“Inа-и'х

 

■ (А—“*«7

 

 

(arcsin

 

,

 

 

их

 

 

u)x-

V i _ ut

 

ПриусловииU —X

(СГ= о

(*)'= 1

ъ

(хтУ = тхт- '

<-Ѵ7У 1Y 7

(т)

(sinхУ = COS X (cos хУ = — sin X

(tg х')—--Y V

ь

cos2*

-

Sin2X

(Іпй'- J:

(l««r

° f 3

(a^'— ax Ina (e*Y= e*

fapCRinrV = —-—1---

/ 1 ~ # 2

'A*

210

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

 

При условии и,

V н ш-» функции X

 

 

 

и 'х

 

и)х. —

7

XIX

(arccos /

------

---------

■х Ѵ \ - и2

XX(arctg и)х —

XXI

(arccfg и)х —

1 + и ,

П р о д о л ж е н и е

При условии и = Х

,

1

I

2

(arccos а*) =

______________

(arctg хУ =

 

- Т = Т

 

 

і + д - 2

 

(arcctg л:) —

 

 

Г Л А В А IX

ИЗУЧЕН И Е Ф УН КЦ И Й С ПОМ ОЩ ЬЮ

ПРО И ЗВ О Д Н Ы Х

§8 6 . Возрастание и убывание функции. Пусть нам

дана функция y — f(x ), графически представленная на рис. 94. Проследим за ходом изменения величины орди­

нат

точек

 

изображенной

 

 

 

 

 

 

 

кривой

при

 

возрастании

 

 

 

 

 

 

 

их абсцисс.

 

 

что

 

х

 

 

 

 

 

 

 

Мы

видим,

при

 

 

 

 

 

 

 

возрастании

 

аргумента

 

 

 

 

 

 

 

 

ординаты

 

 

соответствую­

 

 

 

 

 

 

 

щих

АточекК

на участке

МА

 

 

 

 

 

 

 

кривой

растут,

на

участ­

 

 

 

 

 

 

 

ке

 

 

 

убывают.

 

При

 

 

 

 

 

 

 

дальнейшем

 

возрастании

 

 

 

 

 

 

 

аргумента

ординаты,

при­

 

 

 

 

 

 

 

нимая

 

 

отрицательные

 

 

 

 

 

 

 

значения,

во

 

продолжают

 

 

 

 

 

 

 

убывать

 

 

всех

точках

 

 

 

 

 

 

 

дуги

КВ,

ординаты же то­

М А, В С

 

DL

 

чек

дуги

 

В С

возрастают

 

 

 

и

 

 

на­

и т. д. Данную функцию для участков

AB

 

 

 

 

зывают

возрастающей,

а для участков

и

CD

—

убы­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вающей.

О п р е д е л е н и е .

Функция y = f(x) называется воз­

 

растающей в данном промежутке значений х, если при увеличении аргумента х в этом промежутке соответ­ ствующие значения у возрастают, и убывающей, если при увеличении х значения у убывают.

В данной^ главе будем рассматривать изменения функ­ ций только при возрастании аргумента. Будем также считать, что ф у н к ц и я и ее п е р в а я и в т о р а я

212 И З У Ч Е Н И Е Ф УН КЦ И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

п р о и з в о д н ы е н е п р е р ы в н ы

при всех рассматри­

ваемых значениях аргумента.

 

Если производная

функции y = f(x) в

§ 87. Признаки возрастания и убывания функции. Т е о р е м а .

данном промежутке значений х положительна, то функ­ ция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Не доказывая этой теоремы, поясним ее геометри­ чески.

I. Пусть в данном промежутке значений х

В §

6 6

мы узнали, что

Г (х)>0.

 

 

(1)

 

 

 

k =

tga,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

f'(x) =

 

 

 

 

где

k

— угловой коэффициент

 

 

 

( )

 

 

касательной,

проведенной

к графику функции

y =

f(x),

a — угол наклона этой ка­

сательной

к

положительному

 

направлению

оси

Ох.

Из

равенства

(

) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘если f' (х) > 0 , то и tg a > 0 ,

откуда а — острый угол.

 

y = f(x)

 

Таким образом, при условии (1) касательные, прове­

денные к графикуОхфункции

 

в рассматриваемом

промежутке значений

х,

образуют с положительным на­

правлением оси

о с т р ы е у г л ы

(рис. 95а и 956). Это

свидетельствует о том, что график направлен вверх, т. е. функция в о з р а с т а е т .

Смотрите также файлы