Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 339

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ SO) ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА 219

Теперь мы можем представить на рисунке положение

найденной

точки

 

Л (

0

; —

1

)

и - вид

кривой

вблизи

нее

(рис.

1 0 1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У\\

 

 

П р и м е р

2

. Исследовать на

макси­

 

 

 

X

 

 

о

 

 

мум и минимум функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

У = у * 3 — Y X2 — 4х + 6 .

 

 

 

 

 

 

 

ХА

 

 

.

Р е ш е н и е .

 

Согласно правилу имеем:

 

 

Рис.

101

I.

у' —

^

 

а

3

—

 

 

X2 — Ах

+

6

j

=

х2 — Зх — 4.

 

 

л:2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

Зл: — 4 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откудах \, 2:

 

3 + Ѵ Т + Т б

 

 

 

 

3 ± 5

 

х, =

—

1,

х2

= 4.

 

III.

 

 

1)

Исследуем

 

критическое

 

значение

х{

= — 1.

Берем значение

х < .

—

1

, например

х

=

 

—

2

; тогда

 

 

У'х=~2 ~

(

—2

) 2

—х3 (—2)1

— 4 =

4 +

 

6

 

 

 

6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х— 40=

 

 

Возьмем значение

 

 

>

—

, например

 

 

=

; тогда

 

 

 

 

 

У'х=0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 — 3 -0 — 4 = — 4.

 

 

 

 

 

 

Перемена знака производной с плюса на минус пока­ зывает, что функция при X = — 1 имеет максимум.

2) Исследуем критическое значение х2= 4. Возьмем для я < 4 значение х = 0, а для х > 4 значение х — 5, имеем:

 

Ух=о ~

4, у

; = 5

= 2 5 - 1 5 - 4 =

6

.

Следовательно, при

х =

4

функция имеет минимум.

IV.

Максимальное и минимальное значения функции

будут:

 

 

 

 

 

 

 

г/»»-, = | ( - і )3- | ( - 1 ) ! - 4 ( - 1 ) + 6 = 8 Д ,

4 * - 4 . 4 + 6 = - І 2 | .

220 И З У Ч Е Н И Е Ф УН КЦ И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

Результат вычисления запишем в таблицу:

Критические

Знак производной

Поведение

Значения

до критического

после критиче­

функции

значения

функции

при критнче-

аргумента

значения

ского значения

 

ском.-зпачеини

 

аргумента

аргумента

 

аргумента

- 1

+

—

макс.

4

4

—

+

мин.

- 4

Обозначив

У

аІ

точки графика функции, соответствующие максимуму и минимуму ее, через А и В напишем:

 

 

Положение точек

А

и

В

и

вид кри­

сс

-

вой

вблизи

них

представлены

на

 

рис.

1 0 2

.

 

 

 

3.

Исследовать

на

 

 

у

П р и м е р

и

 

 

максимум

 

минимум 3)'функцию

 

 

 

—

х^.

 

 

 

 

 

у'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

I.

=

х(х

 

 

= Зх2.

 

 

 

И. Зх

2

=

0

 

 

 

1і2

=

0

.

 

 

 

 

 

X, откуда

 

 

 

 

 

 

 

III. Для

 

< 0, например для х =

’ І4 = _, = 3 ( - 1 ) 2 = 3;

-І2І

L _ w

для

X

> 0, например для х = 1,

 

в

 

Рис. 102.

 

 

 

 

У'х=] = 3 ■

I

2

= 3.

 

 

 

 

 

 

Знаки производной оказались одинаковыми при пере­ ходе через критическое значение х = 0 ; следовательно, данная функция при х = 0 не имеет ни максимума, ни минимума (см. рис. 77, стр. 148).

Упражнения

і.Дана функция у = 2хг. Узнать, будет ли она возрастать или

убывать при значении аргумента: 1) х = 1, 2) х = — 1. Проверить результат на графике.

§ 91]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫ ПУКЛ О СТЬ

И

ВО ГН УТО СТЬ КРИ ВО Й

 

 

 

 

 

221

 

2. То

 

же

для

функции

у

=х

—а 2 +

х

 

— 1

при

значении аргу­

мента:

1)

 

X =

—2, 2)

 

д: =

0, 3)

 

 

=

2.

Проверить результат на гра­

фике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у —

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти значения аргумента, при которых возрастают или

убывают функции:

1)

 

 

5а +

1, 2)

 

 

 

4 — За. Проверить резуль­

тат на графике.

 

 

 

вертикально

 

вверх

 

с

 

начальной

скоростью

 

4. Тело

брошено

 

 

 

 

По =

 

300

м/сек.

Уравнение движения

тела

 

s =

vüt

— 4,9/2. Будет ли

подниматься

или опускаться тело в моменты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I)

t =

20

сек,

2)

1 =

30

сек,

 

 

3)

t —

32

сек?

 

 

 

 

Дать аналитическое и графическое решения.

 

 

 

 

 

 

функций:

 

 

 

5. Найти

промежутки

возрастания

дми убывания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) (/ = а 2 - З а + 1,

 

2 )

у

—

 

— 2 а 2 + 8 * — 1.

 

 

 

 

 

 

Найти максимум и минимум функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в.

у

= я2 -

 

2х.

 

7.

у =

-

 

д2 + 4а-.

 

 

 

8.

 

у

= 2а2Ч+.

За + 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. у

У= —~

5а2 — 2а + 2.

 

10.

 

о =

6/ —

і2 — 7.

 

 

 

 

 

 

 

у =

х*.

у

 

5.

 

 

 

14.

у

=

у

А 3 -

А.

12.

 

 

=

 

 

 

А 4 -

 

2а.

 

13.

 

=

А 3 +

у

А 2 -

 

 

 

 

 

15.

s =

 

-і- /3 — 1_ /2 +

 

в/ _

7.

 

 

 

 

 

 

16.

 

у =

j

 

а3 — 2а2 +

За -

1.

17.

у

 

=

 

а 3

+

а 2

-

5а -

6.

20 y==_ ± _ i18.

s =

 

2/3 -

 

і2 — At

+

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

19.

0 =

 

р З _ 3/, 2 _

9/, + 4

 

 

 

 

 

 

I*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. y= Zx-j— j.

 

22. Показать, что следующие функции не имеют ни максимума,

ни минимума:

 

 

1)

у =

-д- а3 — За2 +

 

9а — 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

15а4+

 

10а3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ) у =

6 а 5 —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 91. Выпуклость и вогнутость кривой. Рассмотрим кривую, изображенную на рис. 103. Проведя касатель­ ную, например AB, мы видим, что точки кривой, смежные с точкой касания А и лежащие по обе стороны от нее, располагаются ниже касательной. В таком случае говот рят, что кривая выпукла в точке А\ если часть кривой между точками М и N удовлетворяет этому условию, то эту часть кривой называют выпуклой.

Возьмем кривую, изображенную на рис. 104. Здесь мы наблюдаем другое явление, а-щменно: точки кривой, близкие к точке касания С и расположенные по разным сторонам от нее, лежат выше касательной CD.

222

И З У Ч Е Н И Е Ф У Н К Ц И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

Вэтом случае говорят, что кривая в точке С вогнута,

ичасть кривой между точками Р и Q, удовлетворяющую этому условию, называют вогнутой.

Бывают случаи, когда кривая в одной своей части вы­ пукла, а в другой вогнута; так, например, синусоида (рис. 105) имеет и выпуклость (выше оси Ох) и вогну­ тость (ниже оси Ох), причем точка А служит границей между ними.

Касательная, проведен­ ная к кривой в этой точке, является общей для выпуклой и вогну­ той части ее; эта каса-

Рис. 105. тельная в то же время пересекает кривую в точке касания; поэтому синусоида в точке А ни выпукла,

ни вогнута. Эта точка носит название точки перегиба.

§ 92. Признаки выпуклости и вогнутости кривой.

на,

Т е о р е м а .

Если вторая производная функции

у

=

[ (х)

в данном промежутке значений х

положитель­

 

 

—

 

 

 

х

 

 

то кривая вогнута в этом промежутке, а если отри­

цательна,

 

то выпукла.

 

 

 

 

Поясним эту теорему геометрически.

 

 

 

I. Пусть в данном промежутке значений

( )

 

 

 

 

 

f" (х) > 0

.

1

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы