Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 338

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 92]	ПРИ ЗН АКИ ВЫ ПУКЛОСТИ И ВО ГН УТО СТИ	к р и в о й	223

Называя для удобства f'(x) просто функцией, а f"(x) — ее первой производной, применим к функции f'(x) при знак возрастания и убывания (§ 87); так как по условию (1 ) f"(x) в данном промежутке значений к положитель на, то функция f'(x) в этом промежутке возрастает.

Мы знаем (§ 6 6 ), что

где

kf ' (х) =

k =

t g а,

(2 )

— уголовой коэффи

циент

касательной,

про

веденной к графику функ

ции

y =

f(x),

а — угол

наклона

этойОх.касательной

к положительному напра

влению оси

Из равен-

ства (

) следует, что с

воз

растанием

производной

)'{х)

возрастает

и t ga, а

- }

потому растет и угол ах.

Итак, при условии

(1)

Ох,

с в о з р а с т а н и е м

растет и угол, образованный касательной к кривой

= /(*)

с положительным

направлением оси

это

наблюдается только в случае, когда касательные про ведены в точках, лежащих на вогнутом участке кривой (рис. 106).

II. Пусть в данном промежутке значений			х		(3)
II. Пусть в данном промежутке значений
f " ( x ) < 0
Называя и в этом случае	f'(x) .	функцией, а		f " ( x )
Называя и в этом случае		функцией, а			— ее

первой производной, применимопять к функции f'(x) признак возрастания и убывания; так как по условию

(3)

f"(x)

в данном промежутке значений

отрицательна,

то функция

f'(x)

в этом промежутке убывает. В силу же

равенства

(

) убывает также

t ga,

а следовательно, и

угол а.

(3)

с в о з р а с т а н и е м

Таким образом, при условии

угол между касательной к кривой

y — f(x)

и положи

тельным

направлением оси

Ох

у б ы в а е т ,

а это имеет

место только в случае, когда касательные проведены на выпуклом участке кривой (рис. 107).

224		И З У Ч ЕН И Е	Ф УН КЦ И Й	С	ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX
у —П р и м е р.			Узнать,	выпукла		или	вогнута				кривая
	х3	в точке, абсцисса которой равна'—						2	.		данной
	Р е ш е н и е .		Находим		вторую	производную					данной
					функции		и определяем ее
					знак у'при		X			2
					знак у'при				= —Зх2,:
						=	(х3У =
						у" =	(3х2)' =			6х,

yU - 2= 6 -(-2)= - 12.

	Вторая производнаяу = х ъ							от
	рицательна;					следователь
	но,	кривая				в точке,
	абсцисса				коротой		х	=
	=	—	2	,	выпукла		(см.
Рис. 107.	рис.		77, стр.			148).

§ 93. Нахождение точки перегиба.

О п р е д е л е н и е . Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вог нутой.

Если график функции y = f{x) меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, то при этом вторая производ ная данной функции должна менять свой знак, обра щаясь в нуль в точке перегиба (§ 58).

Можно показать, что справедливо и обратное утвер ждение: если при данном х вторая производная функции у — f (х ) равна нулю и при переходе аргумента через данное значение х меняет знак, то при этом график функ

ции имеет точку перегиба.						достаточный
Это —			необходимый		и				признак точки пе
региба. Отсюда имеем следующее правило.										f(x), нужно:
Чтобы найти точку перегиба кривой y =
ниеII.		Отыскать вторую производную							функции y = f( x ) .
		Приравняв ее нулю, решить полученное уравне
		д.					корнями		его	будут х и х2,
х3 и;	I.пусть действительными
	т.	Расположив значения					x t,	х2	х3, . . . в порядке
III.				подставить			во	,
их	возрастания,*).							вторую производную
сначала любое				число,	меньшее х и затем					—	любое чис-

*) Предполагается, что уравнение имеет ограниченное число корней.

§ 03]

Н А Х О Ж Д ЕН И Е

ТО Ч КИ

П ЕР ЕГИ Б А

225

ло, заключенное между Х\ и

при

если

обоих случаях

получатся

разные

знаки,

то

х =

х {

имеется

точка

перегиба,

если

же

одинаковые, то точки перегиба нет\

я2;

таким же образом определить знак второй производ

ной до и после Х2 и т. д.

Найти ординаты точек перегиба, т. е. вычис

лить функцию для тех значений аргумента, для кото

рыхIVимеет.

место перегиб.

у =

х3.

П р и м е р .

Найти точку перегиба кривой

Р е ш е н и е . Согласно правилу находим:

у'

(X3)' =

Зх

у"

X2)'

6х.

II.6х = 0, откуда X — 0. III. Определяем знак:

			і С _ , =			6	■	1( - ! ) =6 - 6 »
			X^		, =	6	-	=	+ .
Как видно,		упри								точка перегиба.
				=	0	имеет			место
IV.	у =	3	0.
		О =
Кривая		=	X3	имеет точку перегиба в начале коор
динат и здесь			меняет			выпуклость				на вогнутость, как

это видно из чередования знаков второй производной

(см. рис. 77, стр. 148). У

п р а

ж н

е н

и я

Узнать,

выпукла

или

вогнута

кривая

х3— 5х2 +

3 х — 1

в точках, абсциссы которых: I)

1, 2)

х =

8х— 2

в точ

Выпукла

или вогнута

кривая

у =

х4 — 4х3 +

ках, абсциссы которых:

х — -^ ,

лг =

— 2.

В каких точках выпуклы или вогнуты кривые:

1) у =

- 3* + 6,

у = 2

—

Зх

—

X2?

Найти—точки-

перегиба следующих кривых:

5 . у = х 3 + З х 2 — 5 х — 6 .

g - X 3 — X.

X4.

4х

4..

у =

2х3

у =

— Зх2 -

X 3

6 х 2 — 1 5 х

1 0 .

у =

X 4.

У =

-[2-

10..

у =

а: +

36х2 -

2х3

И-

X 4

1 2 х 3

4 8 х 2

5 0 .

* 4 +

Т * 2-

= \ 2 х 4- \ 2 х 2.

1 3 . у = З х 5 — 5 х 3 +

У —

' ~'ѵ*

—~

“

Найти промежутки выпуклости и вогнутости кривых

14.

X3 —

4х2 — 2х +

15. у =

х 4 - - | х

2 -

4х.

8 И. Л. Зайцев

226

И З У Ч Е Н И Е

Ф У Н К Ц И И

ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х

[ГЛ. IX

§ 94.

Второе правило нахождения максимума и мини

мума функции.

Если для

некоторой функции

y — f{x)

Т е о р е м а .

П а ) =

О,

то

данная

функция

при

х =

имеет

максимум,

если

f"{a) <z О,

и минимум, если f"{a) >

0 .

f{x)следующими

со

Покажем f'(a)справедливость— 0,

теоремыy =

ображениями.

то

кривая

х — а.

имеет

гори

Так

как

зонтальную

касательную

при

Далее,

при

f"(a )< !

точка

абсциссой

х — а

лежит

на

выпуклой

f"(x)

части

графика

функции,

а при / " ( а ) >

— на

вогнутой

его части

(так

как

функцияf " (х)

непрерывна, то для

точек кривой, лежащих вблизи точки с абсциссой

а,

по

сохраняется

неравенство

или

/ " ( х ) >

этому

можно

говорить

выпуклой,

соответственно

вогнутой,

части

кривой;

см.

92).

Следовательно,

первом

случае

имеет

место

максимум,

во

втором —

минимум, что и требовалось показать.

f'(a) =

Может,

однако,

случиться,

что

при

также

/"(а) =

, тогда

при

помощи

второй

производной

нельзя установить, что имеет функция: максимум или минимум. В этом случае для решения вопроса нужно

прибегнуть к первому правилу (§ 90).
Таким образом,	имеем в т о р о е п р а в и л о для на
хождения максимума и минимума функции:			подставить
Найти вторую	производную	функции и
в нее каждое из	критических	значений	аргумента-,

если в результате подстановки одного из них 'вторая производная будет отрицательной, то при этом значе нии аргумента функция имеет максимум, если положи тельной, — то минимум, а если вторая производная об ращается в нуль, то для решения вопроса нужно об ратиться к первому правилу.

Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р 1. Исследовать на максимум и минимум функцию

у = х2— 4х + 9.

§ 94]

П РАВИ Л О Н АХО Ж Д ЕН И Я М АКСИ М УМ А И М И Н И М УМ А

227

Р е ш е н и е . Согласно правилу имеем:

I.	у' =		(х2- 4 х		+		9)' = 2 х - 4 .
	2х —		4 =	0,	откуда			х — 2.
II.	у"
III.		=	(2х — 4)'			=	2.		положительной; сле
Вторая производная							оказалась
довательно, при				X =	2	имеет место минимум.				минимум
П р и м е р			2.	Исследовать на максимум и
функцию			у = X3				-X2 + 30л: + 15.
Р е ш е н и е .					—				30л: + 1б\|	=
				I. у' = (л:3 — Щ- х2+

= 3* 2 — 21л: +-30.

II. Зл:2 — 21л: + 30 = 0 или л:2 — 7л: + 10 = 0, откуда

Хі

у" — :2

* 2

III.

л; — 21.

(Зл

— 21.Ѵ + 30)' =

пооче

Подставим во вторую производную вместо

редно значения 2 и" = 25:

6 - 2 — 21 = — 9,

Как

видно,

при

y 'U =

- 5 - 2 1 = + 9.

х — 2

функция

имеет максимум, при

5 — минимум.

П р и м е р

Исследовать

на

максимум и

минимум

функцию

Р е ш е н и е .

I. у' — (х4)' —

4*3.

* =

II.

0, откуда

* 3

III.

у"

(4л:3)' =

12х2.

Подставив значение

0, получим:

Смотрите также файлы

Массовых коммуникаций российской федерации ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образов.docx

Сынып 7.docx

Вы зашли под именем Алиева Виктория Николаевна (Выход) анпоо "нспк".pdf

Учебнометодическое пособие по курсовому проектированию А. Н. Губин спбгут. СанктПетербург, 2021. 30 с. Содержит рекомендации по выполнению курсового проектиро вания при изучении дисциплины Проектная оценка надежности ин формационных систем.pdf

Понятие мошенничества. Предпосылки, причины и условия возникновения.docx

Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно