Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 336

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

228

И З У Ч ЕН И Е Ф У Н К Ц И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. гх

 

Вторая производная оказалась равной нулю, по­ этому указанным способом установить максимум и ми­ нимум нельзя. Обратившись к первому правилу, най­ дем:

 

 

 

 

 

 

 

 

У 'х = -\

 

— 4(— 1)3=

 

— 4,

 

 

 

Перемена 0

 

 

у'х~ і

 

=

4 • I3 =

+

 

4.

 

показывает,

 

 

знака первой

производной,

что при X =

 

функция имеет минимум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

4.

у Исследовать на максимум и

минимум функции:

■ 6х + 3,

у — X

 

32х2 + 8х — 5.

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

3

6..

— —

— 2х2 — 4х +

3.

 

 

 

 

 

 

5. у — X3 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

1

 

 

8.

уу== -X у

 

х3+ - | х 2- 6 х

 

+

2.

 

 

 

 

г/ = - з * 3

 

4

 

 

 

 

 

у — хъ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 .У = —

1

 

10.

 

 

 

 

— 8х3 +

22х2 — 24х +

 

12.

 

11.

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

Найти промежутки возрастания и убывания функций:

 

=

X

 

-

12х -

4.

13.

у

=

-

 

X

+

+

5х - 6.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

X 2

 

 

 

 

 

Имеют ли максимум и

минимум следующие функции:

14.

 

 

 

 

 

? 15.

 

 

4х2 +

25

?

 

 

 

 

 

 

 

у = —

 

у =

ІОх

 

 

и

минимум функции. Тео­

 

§ 95. Задачи на максимум

рия максимума и минимума функции имеет большое применение как и в самой математике, так и в техни­ ческих дисциплинах. Решим несколько задач.

З а д а ч а

1. Разбить число 20 на два слагаемых,

произведение

которыхх\имело бы наибольшее значение.

Р е ш е н и е . БудемX.

искать эти слагаемые. Обозначим

одно

из

них

буквой

тогда другое слагаемое выра­

зится

в видеX.

20 —

Произведение этих слагаемыху,

есть

переменная величина, меняющаяся с изменением сла­

гаемого

Обозначая произведение буквой

запишем:

у = х( 20 — х).

Мы получили функцию, выражающую зависимость произведения у от величины слагаемого х. В задаче требуется найти такое х, при котором у принимает наибольшее значение, т. е. задача свелась- к нахожде­

§ 95]

ЗАДАЧИ НА М АКСИ М УМ И М И Н И М УМ Ф УН КЦ И И

229

 

нию максимума функции. Поступим по правилу, изло­

женному в=§2х94.—

—

х)]'

=

х —

 

X2) '

=

 

—

2х.

I.

у'

 

 

 

—

 

20

 

у" = (20[х(20— 2х)'

 

- 2(20х.

 

 

 

 

II.

20 —

0, откуда

 

 

10.

 

 

 

 

III.

 

 

 

=

х —

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, при

10

функция

имеет макси­

 

 

мум.

Число 20 нужно разбить на два равных слагаемых,

тогда их произведение будет наибольшим.

 

З аR.д а ч а 2.

Найти высоту конуса наибольшего объ­

ема,

который

можно

вписать

 

в шар

радиуса, рав­

ного

 

 

 

Обозначивг,

 

hрадиус

 

Р е ш е н и е .

 

 

основания, высоту и объем конуса

 

соответственно

буквами

 

 

 

и о,

 

запишем:

V =

у

 

nr2h.

 

 

 

 

 

 

Это

равенство

выражает

 

зависи­

 

мость

V

г.от двух переменных

г

и

h;

 

исключим одну из этих величин, а

 

именно

 

Для этого из прямоуголь­

 

ного

треугольника

ABD

(рис.

108)

Рис. 108.

выводим

(по

теореме

о

квадрате

 

перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

А 0 2 = ВО ■ D O,

или

г2 — h (2R — h).

Подставив значение г2 в формулу объема конуса, по­ лучим:

v = j n h 2( 2 R - h ) .

Мы видим, что объем ѵ конуса, вписанного в шар радиуса R, есть функция от высоты этого конуса h. Найти высоту, при которой вписанный конус имеет наибольший объем, — это значит найти такое Л, при котором функция V имеет максимум.

230

И ЗУ Ч ЕН И Е Ф УН КЦ И Й

С ПОМ ОЩ ЬЮ

 

П РО И ЗВ О Д Н Ы Х

ГГЛ. IX

Определяем максимум функции

ѵ

:

 

 

 

 

 

 

 

I.

ѵ'

=

 

nRh

2— §"я^3)

— -^ n R h

—

nil2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2 = -^R .

 

II. -g-

nRh

—

nh2 =

 

0,

откуда

/г( = 0

и

 

 

 

 

III.

v" =

(~n,Rh

— я/i2)

~ ^ n R

 

— 2nh.

 

 

 

 

Подставив вместо

h

сначала

h\

=

 

 

0, а потом

h2 =

^

R,

получим:

 

Vh

 

~

f

 

nR’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

v' ^ ± R= i n R - 2 n - i R = = ~ i nR-

 

 

 

первом

случае

 

имеем

минимум,4

 

во-втором — ис­

комый максимум.

 

 

при

h = - ^ R

 

 

конус, вписанный

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

в шар радиуса

R,

 

имеет наибольший объем.

 

 

 

за­

З а д а ч а

3.

Окно

 

имеет

 

форму

 

прямоугольника,

твершенного полукругом; периметр фигуры окна равен 6 м. Каковы должны быть его размеры, чтобы оно пропускало максимум света

(рис. 109)?

Как известно,

коли­

Р е ш е н и е .

чество света,

проходящего

через

окно* тем больше, чем больше, пло­

щадь окна. Обозначим:

 

тогда длина

полуокружности

AD

=

х;

 

 

ВтС

 

 

 

 

будет равна - у - ,

 

 

 

 

АВ.

=

6 — AD — ВтС

 

R— х

— —

 

 

 

 

 

2

а

высота

окна

 

п

 

--------- ^

 

^

 

--------=

_

12 — 2х — лх_ '

}-[ЛОщ адЬ всего окна состоит из площадей

прямоугольника

ABCD

и

полукруга

ВтС.

По

соответ­

ствующим^ A BформуламC —

найдем:4 '

Х

 

4

 

 

 

п

 

12 — 2х — пх

_ 12х — 2х2 — п х г

 

D

§ 351

ЗАДАЧИ НА М АКСИ М УМ И М И Н И М УМ Ф УН КЦ И И

231

 

И

о

_

_

Л Л Г

ö BmC — —8~ •

Обозначив площадь окна буквой у, получим:

У

=

12л: — 2л:2 — ях2

.

ях2

 

 

 

----------- 4-----------

+ ^

=

я.ѵ2

24л: — 4л:2 — я.ѵ2

 

 

_

24л: — 4л:2 — 2лх2+

 

 

_

 

8

—

8

Мы видим, что площадь окна у в условиях нашей задачи является функцией его основания х, и задача свелась к нахождению максимума функции у.

Исследуем полученную функцию на максимум:

I-

* '= (

24л: — 4л:2 —

пх2\'

24 — 8х — 2пх

12 — 4л:—ях

 

 

?

 

8

п

 

/

8

 

4

 

4х

 

■

 

 

 

12 —

 

4

 

 

 

 

 

= г -

 

12

 

II.

 

 

 

— ял:

О,

откуда

 

у" = (

12

4х

 

 

III.

 

 

 

 

—

лх У

— 4 — я

4 + я

 

 

 

 

 

 

 

 

-Г

Вторая Xпроизводная

оказалась

отрицательной, зна­

чит, при

=

 

 

4: + л■■

площадь

окна

наибольшая.

 

 

 

 

 

■■■,2

 

 

 

 

 

 

 

Для прохождения наибольшего количества света через окно с контуром в б м нужно, чтобы ширина его была равна

12

1 , 6 8

м.

4 + л

 

 

Упражнения

1.Разбить число 12 на два слагаемых, произведение которых имело бы максимальное значение.

2.Разбить число 10 на два слагаемых, чтобы сумма их квадра­

тов была наименьшая.

3. Число 8 разбить на два слагаемых' так, чтобы сумма их ку­ бов была наименьшая.

4.Для какого числа разность между этим числом и его квад­ ратом наибольшая?

5.Какой из прямоугольников с периметром, равным 50 см,

имеет наибольшую площадь?

6. Прямоугольный участок земли в 10 000 лі2 нужно окопать вдоль всей границы рвом. Как выбрать размеры участка, чтобы длина рва была наименьшая?

7. Сумма основания и высоты треугольника равна 10 см. Ка­ ковы должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была наибольшая?

Смотрите также файлы