Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 337

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

232

И ЗУ Ч ЕН И Е Ф УН КЦ И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

 

8.Из квадратного листа железа, сторона которого равна 30 см, нужно вырезать по углам четыре квадратика так, чтобы из остав­ шейся части после сгибания получить коробку наибольшей емкости. Каковы при этом размеры вырезанных квадратиков?

9.Из листа картона прямоугольной формы размером 30X50 см2 нужно вырезать по углам квадратики так, чтобы из оставшейся части после сгибания получить коробку наибольшей боковой поверх­ ности. Подсчитать размеры вырезанных квадратиков.

10.Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан­ чивается правильным треугольником. Периметр окна равен 3 м. Каково должно быть основание прямоугольника, чтобы окно имело наибольшую площадь?

11.Сечение шлюзового канала имеет вид прямоугольника, за­ канчивающегося полукругом. Периметр сечения равен 4,5 м. При ка­

ком радиусе полукруга сечение будет иметь

наибольшую пло­

щадь?

дм3,

 

изготовить ящик

с крышкой,

объем

которого

12. Требуется

равен 72

 

а

стороны основания

относятся,

как 1 :2.

Каковы

должны быть размеры всех сторон его, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

13.Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 дм3. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы полная по­ верхность ее была наименьшей?

14.Резервуар емкостью в 4 м3 с квадратным основанием, от­ крытый сверху, нужно выложить оловом. Каковы должны быть

размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество олова?

15.Найти величину радиуса основания и высоту цилиндра, имеющего объем 27я см3, у которого полная поверхность наи­ меньшая.

16.Какими нужно взять размеры цилиндрического сосуда емкостью в 1 л, открытого сверху, чтобы на его изготовление по­ требовалось наименьшее количество материала?

17.В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высо­ той 8 см вписан прямоугольник. Какова должна быть высота прямо­ угольника, чтобы он имел наибольшую площадь?

18.Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямо­ угольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность парал­ лелепипеда была наибольшей?

19. Из проволоки длиной 90 см нужно сделать модель призмы с правильным треугольником в основании. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы боковая поверхность ее была наибольшей?

20.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольший?

21.Найти высоту цилиндра с наибольшим объемом, вписанного

вшар радиуса R.

22.В конус, радиус основания которого 6 см и высота 15 см, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверх­ ность. Определить радиус цилиндра.


§ 95]

ЗАДАЧИ Н А М АКСИ М УМ И М И Н И М УМ Ф УНКЦ И И

233

23. На параболе = 2* найти точку, ближайшую к точке

А(3; 0 ).

24.Электрическая лампочка висит над центром круглого стола. На какую высоту нужно ее поднять, чтобы она наиболее ярко освещала предмет, лежащий на столе на расстоянии 1 м от центра? (Яркость освещения прямо пропорциональна синусу угла, образо­ ванного лучом, падающим на предмет, с крышкой стола, и обратно пропорциональна квадрату расстояния предмета от источника света,

25. Картина в

1,4 л*

высотой висит на стене

так, что ее ниж­

ний край на 1,8

м

выше

глаза наблюдателя. На

каком расстоянии

 

от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения' был наибольший)?

26. Тело движется по закону, данному уравнением

s = 1 0 / + 18/2 — 2 t 3. -

Найти максимальную скорость движения тела.

27.

Путь, пройденный

телом,

брошенным вертикально вверх

с начальной скоростью

ѵ0,

определяется из равенства

 

 

 

s =

ѵ0і —

J

g t 2.

Определить высоту наибольшего подъема тела.

28.

Энергия, отдаваемая электрическим элементом, определяется

из равенства

 

 

 

 

 

P (R + r)2’

где Е н г — постоянные величины. При каком соотношении между R

иг величина Р имеет максимум?

29.Прочность прямоугольной балки пропорциональна произве­

дению ширины ее на квадрат высоты. Найти размеры наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром в а см.

30.Из круглого бревна диаметром d нужно вырезать балку одинакового по всей длине прямоугольного сечения. Зная, что со­ противление на сжатие пропорционально площади сечения, опре­ делить, каковы должны быть стороны прямоугольного сечения, чтобы сопротивление на сжатие было наибольшим.

31.Для балки, лежащей на двух опорах, с равномерно распре­ деленной нагрузкой по всей длине I момент изгиба в какой-либо точке А балки определяется из равенства

M = ~2 q l x - J qx~'

где X — расстояние точки А от одной из опор, а q — нагрузка на единицу длины балки. Показать, что максимальный изгибающий момент находится в центре балки. Определить величину максималь­ ного изгибающего момента.


234

И З У Ч Е Н И Е Ф УН КЦ И Й С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х (ГЛ. IX

 

§ 96. Построение графиков функций. В настоящей гла­ ве мы познакомились с тем, как изучаются свойства функции с помощью ее производных. Знание этих свойств позволяет нам получить представление о функ­ ции, а также построить ее график.

 

П р и м е р .

Построить график функций

у

х3—х2+

 

Р е ш е н и е .

Исследуем

данную функцию

на

макси­

мум и минимум.

 

 

 

 

 

 

 

1у'=(I*3- *2+т)'=т*2- 2*-

откуда

хх — О

и

х2II. у х 2 2х — 0, или

X 2 — 4.ѵ = 0,

=

4.

 

( у * 2-

2х)' =

х - 2 ,

 

 

 

 

III.

І/" =

 

 

 

 

 

 

y ' U =

0 - 2

=

- 2 .

 

 

 

 

 

У"=4

=

 

 

 

 

 

 

 

4 - 2

=

+ 2.

 

 

 

 

При X = 0 функция имеет максимум, при х = 4 — минимум.

IV. Найдем ординаты точек, соответствующих мак­ симуму и минимуму функции:

^ = о = т - ° 3

- °

2

+*

!2= 4 -

 

 

- 4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

__ 1

л о

 

j 9

 

32

• /ч

 

2

2

0*=4=-б

•4

- 4 - +

т = ^ - - 1 6

+ т =

 

т .

Координаты искомых точек суть

Исследуем теперь данную функцию на точку пере­ гиба; для этого найденную вторую производную при­ равняем нулю:

откуда

X 2 =

0,

 

 

 

X = 2.

х — 2

имеет

место

хпере­

Чтобы убедиться,

что при

 

гиб, определим знаки второй

производной

для

 

 

 

 

 

2


§ 561

П О С ТРО ЕН И Е ГРАФ И КО В Ф УНКЦ И И

235

 

 

 

X

 

2

 

 

 

 

 

— 2

 

1

 

 

 

и для >

 

; в результате

 

 

 

 

 

1получим:

 

 

 

 

 

 

X — 2

 

y'U

з=

3 - 2

------ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= + .

 

 

Смена знаков второй производной показывает, что ар­

гументу

 

 

 

соответствует

точка

перегиба.

Найдем

ее ординату:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = Т - 23- 2! + Т - 24 - 2 4 + Т = - 2:

координаты точки перегиба

( ; — ).

 

 

 

Чтобы

яснеех

— 2

 

х

 

6

 

 

 

функции,

представить

график .данной

вычислим координаты еще нескольких точек*). Поло­

!/х

 

 

 

 

) 3

 

 

и

 

 

, получим:

 

 

жив, например,

 

 

 

 

 

} =

— 4 } ,

— 5 = У ’ (— 2

— (— 2)* +

! - = — }

— 4 +

ä ,^ = 1 . 6» - 6 4 -13 6 - 3 6 + 4 = } .

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точек

суть

2 ; —

Координаты дополнительных

^ ; J - j . Составим

таблицу

найденных значений коорди­

нат точек:

X

У

'- 2

1

Ы

 

3

0

2

4

6

2

—2

- 4 - |

2

3

3

 

3

Построим все эти точки и проведем через них плав­ ную линию (рис. ПО).

Для построения графика функции следует:

1.Найти значения х , при которых данная функция имеет максимум или минимум.

2.Найти значения х, при которых график функции имеет точки перегиба.

*) Часто бывает полезно найти точки пересечения кривой с осями координат, однако это нередко связано с большими труд­ ностями при решении уравнений высших степеней или трансцендент­ ных уравнений.


236

И З У Ч ЕН И Е Ф У Н К Ц И И С ПОМ ОЩ ЬЮ П РО И ЗВ О Д Н Ы Х [ГЛ. IX

 

3. Вычислить значения ординат точек, соответствую­ щие найденным значениям абсцисс; присоединив к этим точкам еще несколько дополнительных, записать най­ денные значения х и у в таблицу.

Рис. ПО.

4. Построить найденные точки и провести через них плавную линию.

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построить графики функций:

+

 

 

 

 

у

 

 

 

4х.

 

1. у =

+

2.

 

2. у

у

= 2л2

6л.

 

3.

= -

2л2у

+

 

 

 

 

 

X 4.

4. у =

X2— 6л + у

5.

X 3

X.5.

 

 

хгѵ-2+ — 3,5.

 

6 .

=

 

Л.7.

у

 

 

=

 

 

 

9.

 

X 3

— 3*.

10. у =

4О - X3 — 4.

у==

л5.- -I X38.+ 2Х2 —1.+

 

 

у =

 

13. у = ± х 3- х

+ 3.

 

 

 

12.

у =

-і- я3 - За- +

2.

 

1.

 

 

 

 

 

14.

у =

2л-3 -

9-ѵ2 +

!2 л +

 

 

15.

у =

-і-л4 — 8х.

 

 

 

 

16.

у =

л4 -

2л3 +

3.