Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 308

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

364 РЯ Д Ы [ГЛ. XIV

 

 

Р е ш е н и е .

Согласно

формуле

(4) имеем:

 

 

 

1

+

* 2 (1 + -v T ' = 1 + ( — 1)*2 +

"

■ (~ 2~ °

* 4 +

 

+

(—1 — I) (— 1— 2) X6

+ . . . = 1 —

X2

+

X4

—

А'6

+ . . .

 

1- 2- 3

 

 

 

 

 

 

Интегрируя

равенство

(7) в

пределах

 

от

0 до

(7)

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ,

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vf

dx

d x — о X2 d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\+х*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

а rctg л: = X

или

■ — xö

— — X '

+ .

3

 

8

arctg х = х

 

X

-

 

- +

-g-------

 

- +

( 8)

Ряд ( ) сходится при

—

 

3

 

 

7

 

I

 

I < 1,

так как ряд

(7) сходится

при | х | <

1 (теорема

§

 

134).

 

 

 

 

§ 137. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды имеют большое приложе­ ние к приближенным вычислениям. Покажем это на примерах.

П р и м е р

1. Вычислить sin 18°.

 

мере

равен

Р е ш е н и е .

Угол 18°

вх =радианной

.0,3142. Подставив значение

0,3142

в

формулу

(2)

§ 136, получим:

 

~

 

 

 

 

sin 18° = sin 0,3142 ~ 0,3142 -

 

 

0,3090.

П р и м е р

2.

Вычислить

~ 0,3142 — 0,0052 =

я.

6

 

 

—

Р е ш е н и е .

Положив в равенстве

~( ) § 136 * =

и учитывая, что arcsin у =

получим

 

~ +

 

+

,3

+-25. 4 0 . отсюда

я~ 3 + -^ + _ 9 ^ ~ 3 + 0,125 + 0,0141 ~ 3,14.

§ I3S]

РЯ Д Ы С К О М П Л ЕК СН Ы М И

Ч Л ЕН А М И

365

П р и м е р

3. Вычислить J

 

dx.

 

о

Р е ш е н и е . Неопределенный интеграл данного вида не может быть выражен в элементарных функциях. Од­ нако его можно в указанных пределах вычислить при­ ближенно с помощью рядов. Разделим обе части ра­ венства (2) § 136 на х:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

X ^

,

_

_х^_

.

X 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда получим;

 

 

X

 

~

1

 

31

 

~*

51

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ^ d x

~ / d

x

-

 

 

w

 

I х 2

 

d x

+ - k

/

 

х і

d x =

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

X

 

 

 

 

 

0

 

X?

+

 

 

о

5

[1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

о ------—

 

 

 

5!5 X

 

Іо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!3 *

~

1- 2 - 3 - 4 - 5 - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1•2•3•3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 138.

Ряды

 

с

 

 

 

 

 

 

» 1 -

0,0556 +

0,0017 = 0,9461.

 

 

 

комплексными членами. Возьмем ряд

 

 

(Д[ +

bj)

+

 

а-2

+

 

 

Ь2І)

+

 

. . .

+

(flf-n +

bni)

+

 

. . . ,

(

1

)

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составленный из комплексныхсходящимся,чисел вида

 

ап

+

bni,

где

а

и

b

— действительные

числа,

 

а

і

— мнимая

 

единица.

Ряд

(1) называется

 

 

 

 

 

 

 

 

если ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йі +

а2

+

3

+

 

. . . +

 

ап

+ . . .

 

 

 

 

 

 

2

и

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

Ь\ +

Ь2+

 

&з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

(3)

составленные из действительных частей и

1коэффициен­А

товВ;

при

мнимых

 

 

частях

 

членов

ряда

(

 

),

 

сходятся.

Пусть суммы рядов

 

 

(2)

и

(3)

соответственно

 

равны

 

 

и

 

тогда сумма

 

ряда

 

(1)

будет

 

равна

 

Л + В г .

Н а ­

пример, сумма членов ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■

+ 7 ') + (і + 7

')+

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

366

р я д ы

[ГЛ. XIV

 

 

равна

 

.

1

.

з .

.

 

с

,

и.

1

2

1

=

г Ч

1

=

~2

+

1 — - ’ 5

+

 

2

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем теорему.

Ряд с комплексными членами сходится, если схо­ дится ряд, составленный из модулей его членов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сходится ряд

Ѵа\ + Ь\ + Ѵ а \ + Ъ\ + . . . + Ѵ а1 + Ъ1 + . . . .

(4)

составленный из модулей членов ряда (1). Как видно,

Поэтому члены рядов (2) и (3) не превышают соответ­ ствующие члены ряда (4). Следовательно, ряды (2) и (3) сходятся и притом абсолютно (§ 132), а потому сходится и ряд (1). Теорема доказана.

В некоторых случаях рассматриваются степенные

ряды

aQ

axz

+

a2z2 + a3z3

+ . . . + a „ z re+ -

 

+

 

 

где a0, au «2. ct3 . . . — действительные или комплексные числа, а z — комплексное переменное вида х-\-іу. Пользуясь доказанной теоремой и известными нам при­ знаками сходимости, можно исследовать сходимость и таких рядов.

§ 139. Формулы Эйлера. В § 136 мы представили по­ казательную функцию ех в виде ряда ( 1 ) для действи­ тельных значений показателя. В полных курсах выс­ шей математики указывается, что этот ряд имеет тот

§ 1391

Ф ОРМ УЛЫ Э Й Л ЕР А

367

 

же вид и в случае комплексного показателя. Таким об­ разом, можно написать:

С.

уО

Ait

мд

■9'*’

 

 

=

z

1 +

2 +

 

 

 

3!

 

 

4!

 

 

 

5!

 

 

 

 

 

 

x-j--іу.

 

 

 

 

 

-2Г + -зР +

1Тр +

 

Тй-+

 

••• ■ ^ T T + ' -*» 0) *)

где

 

— комплексное переменное вида

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z =

iy,

I

 

В частном случае, положив в равенстве (1)

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei,J

=

1

+

 

іу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(іу) 2+

(іу) 3

,

(lyY

I

 

 

(іу)

 

+

 

 

 

M L

 

 

 

ИЛИ

 

 

21

+

 

31

+

 

41

 

+

 

 

5!

 

 

 

 

n\

 

 

 

 

 

 

 

 

^ r

 

 

i3y 3

 

l*y*

 

 

 

 

- k +

 

 

 

iny n

 

 

 

Іи

 

 

I I -

 

I

i2y2

I

I

 

 

,

 

i*y*

 

I . . .

,

, -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

41

 

 

 

 

51

 

 

n\

 

 

e^ = \ +

ty +

 

 

 

+ ^ r - \ - - ir +

 

 

 

 

 

i5 =

/

+ ^ r +

 

 

Ho

 

 

 

 

 

 

— 1 ,

 

 

іг =

—і,

 

 

 

 

I _Уy 4

И

T. Д.,

 

 

 

поэтомуе'У

=

1 -|- іу

 

У

__

 

ty

 

 

|_ tyi a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

3!

 

"r

 

 

4!

 

"r

 

5!

 

 

 

 

 

Выделив действительные и мнимые члены, напишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■/2

 

 

„4

 

 

 

 

 

 

( _

 

2)Л^ Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z + Z _ .

 

 

( /і)!

 

1

 

 

 

 

 

i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. +

 

 

;_ )П- у п- і

 

j

 

Приняв

 

+ ( »

 

3!

 

5!

 

 

 

•

 

 

^

 

 

(2/i -

1)!

+ . . .

 

 

во внимание

формулы (3) и (2) § 136, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еіу =

cos

у

+

i

 

sin

 

у.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

Заменив в равенстве

(2)

у

 

на

 

—у,

напишем:

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

е~іу

=

cos (—

у)

 

+

i

sin (—

у),

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е~іу =

cos у — i sin у.

 

 

 

 

 

Равенства (2) и (3) выражают связь между показа­ тельной и тригонометрическими функциями. Эти равен­ ства были даны Эйлером.

*) Можно показать, что этот ряд абсолютно сходится при всех значениях г.

368

 

 

 

 

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

ІГЛ. XIV

 

Решив равенства

(2)

и

(3)

 

относительно

cos

у

и

sin

у,

получим:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jy 4

е-іи

 

 

у

 

 

 

(4)

 

 

cos

у =

 

 

 

и

sin

=

 

 

 

 

 

------^------

 

 

 

но­

 

Заметим, что

из

равенства (2) легко получить

 

вый

вид записи

комплексного

числа, имеющего

модуль

ги аргумент у, а именно:

г(cos у + i sin у) — геіу.

рическойТаким иобразом,показательной.комплексное число может

быть за­

писано

 

в

трех

 

формах:

в

алгебраической,

 

тригономет­

 

 

 

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

і Y 2>

—

2

^cos

2

e

3

1 .

 

 

Формулы2

 

+

i sin - j j =

 

 

 

 

Эйлерау у

позволяют

установить

 

периодичность

показательной функции. Действительно, заменив в ра­

венстве

(

)

на

 

+

2

я, найдем:

 

 

у

 

 

 

 

 

 

е(у+2п)і

_

cos()y

_ j _ 2

л) -{-

isin(y

+

2

я) =

cos

 

+

 

i

sin

у — eiy.

Таким образом,

 

 

 

е{у+2п)1 =

gi;/(

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

(5)

 

 

 

giy+2ni — еІУ'

 

 

 

 

 

 

 

(5)

Равенство

 

показывает,

2

что

е'у — периодическая

функция с мнимым периодом

 

яг.

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы