Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Как видно из рисунка 143, этот график можно по­ лучить из графика функции y = sinjt, изображенного на том же рисунке пунктирной линией, уменьшив мас­ штаб по оси Ох в три раза.

График функции у = 3 sin 2л можно получить и из графика функции г/ = sin ас, представленного на том же рисунке пунктирной линией, уменьшив масштаб по оси Ох вдвое и увеличив его по оси Оу втрое.

§ 141. Гармонические колебания.

I. П р о с т ы е г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . В естествознании и технике часто наблюдаются периоди­ ческие процессы, т. е. такие явления, которые повторяют­ ся через определенный промежуток времени. Например, колебания маятника, явления переменного тока и др.

В равенстве (1) постоянный множитель А, представляю­ щий наибольшую величину, которую может иметь у,

называется амплитудой колебания, {at + ср0)— фазой колебания, со — частотой колебания, а фо — начальной фазой.

Функция (1 )— периодическая с наименьшим перио­

происходит одно колебательное движение, поэтому ее на­ зывают периодом колебания. Обозначив ее буквой Г, напишем:

откуда

2 я

Таккак Т — время одного колебания, т о - у -----число ко­

лебаний за время 2л. Таким образом, величина со опре­ деляет частоту колебаний. Преобразуем равенство (1), применяя формулу для синуса суммы двух углов:

нальной расстоянию 5 точки от притягивающего центра

О. Найти закон движения этой точки.

Ре ш е н и е . Движение точки происходит по прямой линии, соединяющей начальное положение движущейся точки с центром О. Примем точку О за начало отсчета пути 5. По условию сііла, действующая на точку, есть

F — nS,

где п — коэффициент пропорциональности; кроме того, мы знаем, что эта сила равна произведению массы точки

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициен­ тами. Характеристическое уравнение

Это уравнение показывает, что точка совершает гармо­ нические колебания около центра О.

II. С л о ж н ы е г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . ^ Не всякий периодический процесс можно рассматривать как простое гармоническое колебание. Очень часты слу­

Рассмотрим пример. Пусть даны две простые гармо­ ники, определяемые уравнениями:

y — s\nt

и

г/ = sin

На рис. 145 эти гармоники изображены пунктирными ли­ ниями, сложная же гармоника, являющаяся графиком функции

*/ = sin^ + sin3/,.