Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 307

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

360

РЯ Д Ы

[ГЛ. XIV

 

Согласно теореме § 134 ряд ( 1 ) можно почленно диф­ ференцировать любое число раз, при этом полученные ряды будут иметь тот же промежуток сходимости, что и ряд ( 1 ). Продифференцируем ряд (1 ) п раз:

 

f'

(,ѵ) =

 

 

а

1

 

2

2

 

 

 

2

 

2

 

4

2

-(- . . .

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

а

-ѵ: -f- За х

 

-|- 4n x

 

 

 

 

 

f"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . +

 

nanxn~l

 

 

. . .,

 

 

 

 

(x) =

 

2а

2

+

 

 

 

 

 

4 2+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 • За3х +

3 ■ 4а х

+ . . .

 

 

 

 

f"'{x)

 

 

 

 

 

. . .

 

+ ( п — 1)папхп~2

+ . .

 

(

2

)

 

=

 

 

2

 

3

+

 

2

• 3 ■ 4а4х + . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- За

 

 

 

 

 

. . . ,

 

 

 

 

 

 

. . .

 

+

{п

—

2

)

(п

—

1 )папхп~3 +

 

 

 

 

Положив в fравенствах

 

(1) и (2) х =

0,

 

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

а0,

 

 

 

 

отсюда

а0 =

[(0

),

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f"

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

отсюда

ax= f ' { 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 =

~ ~ ),- ,

 

 

 

 

 

f'(0) —щ,

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

а2,

 

 

 

 

а3 =

 

Г (

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т. д.

f'" (0 ) =

2

■ За3,

 

отсюда

-/туг^

 

 

 

1

 

 

найденные значения коэффициентов в ра­

Подставив

венство

0( ),

получим:

- ^

 

*

2+ . . .

+

]^ р - х п +

. . . (

)

 

f(*) = f(

) +

f'(

0

)

*

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Равенство (3) представляет собой ряд Макларена, позволяющий разложить функцию y = f(x) в ряд по степеням х.

§ 136. Примеры разложения функций в ряд.

П р и м е р 1. Разложить в степенной ряд Маклорена f(x) = e\

Р е ш е н и е . Для этого находим:

.

f"(x) = ex, f"'(x) = ex

и т. д.

§ 136] П Р И М ЕРЫ РАЗЛ О Ж ЕН И Я Ф У Н К Ц И И В РЯД 361

 

Положив

х =

0,

 

получим:

f'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

0

) =

 

1

,

 

0

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

и

т. д.

 

 

 

f"

(

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

0

) =

1

,

/ "'(

0

) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

ѵ*2

 

 

 

 

уЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

иП

 

 

1

 

ех = 1 +

х + - х2 1

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

я!

 

 

'( )

 

 

 

 

 

 

 

 

+

- 4 т з +

•••

 

х

 

 

 

•••

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ^ Г +

 

Ряд (1) сходится при любом

значении

 

 

(см. упражне­

ние 3 § 134).

2.

Разложить в степенной ряд Маклорена

f(x)П р и м е р

 

= sinx.

 

Находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

 

f(

0

) =

 

1,

 

 

 

 

f'(x) =

sin д:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) =

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

П

 

0

) =

■

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■■— sin

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f"'(0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

И

 

 

 

f"

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

/ " ( * ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

) =

 

 

 

 

 

 

 

r

w

=

 

— COS X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- I ,

 

 

 

 

■

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

 

 

 

 

Г ( Х )

=

X

 

 

 

И

 

 

 

 

 

0

 

1,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г ’ (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COS X

 

 

 

И

 

 

 

/<ѵ,(0 ) =

 

0

 

 

 

и

т. д.

;<VI)(*) =

— sinx

 

И

 

 

,f{VI>(

) =

 

- ,1

 

 

:(VI,)(*) =

— cosx

 

 

 

/(ѴІ»

 

1

=

 

2 - 1

 

 

 

Таким

образом,

- - 7/ f + •••

+

( _

 

)П- Іл я

+

( 2)

sinx = x

- ^* 3

+

^

 

 

 

 

 

 

X5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2/i -

 

1)!

 

 

Составив ряд из абсолютных величин членов ряда (2), исследуем его на сходимость. Применим признак Да-

ламбера,

2

 

 

 

1

М я + 1

 

2

 

1)1

 

 

“ п

U 2" - 1! .

 

 

 

и-2п+,|

 

’

 

( я - )! ’

„

/і

~ ( я +

 

 

 

 

 

 

п„ /г+ !|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 —1 1

 

 

 

 

 

 

 

Цд+і _ _

I

X

 

 

. ________

 

я(

 

 

 

 

ип

2

 

+

 

1

2

 

1

2

2

 

1

 

lim

(

 

 

о

)!tn

• ( я — )!

lim

 

я + ) *

lim

 

« ( « +I )

= X 2

 

-5

я ( я +

)

іг-^оо ип

 

 

 

 

 

I\

 

 

-

 

7 K— i—гг = 0.

 

 

 

 

2

2

1

 

 

 

 

2

 

 

2

1

362

РЯДЫ

[ГЛ. XIV

 

Последнеех.

2

х\

сле­

равенство справедливо при любом

 

довательно, ряд ( ) сходится абсолютно при

всяком

 

f(x)

 

X.

 

 

 

 

значении

 

3.

Разложить в

степенной ряд

Маклоре-

на

П р и м е р

 

 

= cos

 

Данная функция разлагается

в ряд

та­

 

Р е ш е н и е .

ким же способом, как и sinх,

лг. Однако ряд для cos*

можно получить проще. Так как степенной ряд (2)

схо­

дится

при всех

значениях

то, дифференцируя

его,

получим степенной ряд, сходящийся при том же усло­

вии (теорема § 134). Взявry

 

производную

 

от

обеих

ча­

стей равенства

(

2

),

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

1 —

З . Ѵ - 2

.

 

 

5

* 1

 

 

lx

6

 

ь . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O S

 

3!

1

 

5 !

 

 

7!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

( 2

« - 1

x2n

 

 

 

 

 

илиX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• • • + ( - Г

 

( 2 n - 1) !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 !

 

 

4 !

 

6 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 r e ) l

 

 

 

1

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

2

 

 

X4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - l) n x2n

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 —

X .

 

 

 

 

 

X

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 4-

 

. .

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C O S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)П=р и м е р

4.

 

Разложить

в степенной ряд Маклорена

 

 

 

( l + x ) m.

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

и

 

/(

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f{x) = (\ + х Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

/'

(х) =

т

 

 

 

х)т~1

 

 

 

 

 

 

 

 

т;;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ( m+—

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

/' ( ) =

 

 

 

т (т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

 

 

 

l ) ( l + x ) m

 

 

и

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

—

 

);

 

 

 

f"(x) =

f'" (х) =

 

2

 

f"

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(т

2

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т(т

—

1

)

—

) (

1

+

 

х)т~3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

— т(іп

—

1

) (от —

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ( т — 1)

 

о

1,

 

т ( т — \ ) { т — 2)

3 .

 

 

 

 

Таким

образом,

 

1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2 - 3

 

 

 

 

 

 

 

( l+ x ) m= l - f

тх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2.3

х п'

 

л

-г

.

 

 

т ( т

 

 

 

 

(т

 

 

 

 

 

[т

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

1)

 

— 2) . . .

■т-

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(га — 1)]

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

т

— натуральное число,тто ряд (4)

обрывается

 

1

на ( / л +

 

)-м члене, так

как

последующие коэффици­

енты обращаются в нуль;

при

дробном

или отрица­

§ 136]

П Р И М ЕР Ы РА З Л О Ж ЕН И Я Ф У Н К Ц И Й В РЯ Д

363

 

тельном

этот ряд бесконечный. Применяя признак

Д а-

ламбера,

можно

 

показать,

что

бесконечный

ряд

(4)

сходится

при | х | <

1

.

 

 

 

 

 

П р и м е р

5.

Разложить

f (х) = arcsin х

в

степенной

ряд.

 

 

Применим

формулу (4)

к

функции

Р е ш е н и е .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ Г ^

(1 - X 2) 2 =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Y L- X2

- П

Г ; 2 ------- ( -

 

 

 

= 1

+ ( -

т ) (-■ **) + -

 

+

 

+ ~-

2

=1 :

1

-+з

і—х ------2+

Ч| -х‘>+- х 2)3+- | - ^. .+. . . .

(5)

 

 

 

2

 

 

 

 

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до х, полу­ чим:

X

*

 

 

2 JX2 dx +

 

 

 

X6 dx + . . . ;

J

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

+ 4-Х3

 

4+- —40 XХ5

 

 

 

+

arcsin X

 

 

 

 

112

или

arcsinx = X + -g- + —2fQ- +

-щ- +

 

(6)

 

 

.

,

X3

. З х 5 .

5 х 7

,

 

 

Так как

ряд

6(5) сходится

при | х | <

1,

то

 

и ряд (6 ) со­

гласно теореме §

134 сходится при | х | <

f1.

П р и м е р

. Разложить в степенной ряд

 

(х) = arctg х.

Смотрите также файлы