Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 310

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 132]

е р .

АБСОЛЮТНО

СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ

355

П р и м1

Исследовать сходимость ряда

 

1

2

 

'

3

4

 

(_!)«+>

 

 

_ ±

 

.

± _

± .

■ •

+

 

Р е ш е н и е .

1

Так как +

 

и

 

 

> — > — > — >

> —

 

 

 

 

^ 2 ^ 3 ^ 4 ^

• - л

 

 

 

 

 

 

lim — =

О,

 

 

 

 

 

 

П~* со

 

 

то согласно доказанной теореме данный ряд сходится.

Исследовать

 

 

 

Упражнения

 

( -

 

)"+І

 

 

1.

I -

 

 

 

сходимость

рядов:

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+

1

 

 

1

 

 

 

VT .

Уз

 

VT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УК

 

 

 

2. 1— ■1 i- 2 .

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

( − 1пі +

^

 

1 _

2

 

 

 

1- 2 - 3

 

1 - 2 - 3 - 4

і- . . .

 

+ 4

 

—-1

1

 

 

 

 

 

 

 

------ - ...

,

 

 

 

, І

 

_ А

4-

 

 

 

 

 

 

г

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

4- ( - l) ”+1n

 

 

 

 

 

3 , 1

 

3 + 5

7 + " ' + 2« - 1

 

 

 

 

 

дан ряд

§

132.

 

Абсолютно

сходящиеся

ряды. Пусть

членами

 

и \

+ Ы2 +

и 3

+

и 4

+

• • • +

и п

+

 

• • ■ 1

( 1 )

которого

служат

 

 

как

положительные числа,

так и отрицательные. Напишем новый ряд, состоящий

из абсолютныхI

величин членов ряда

(

1

):

 

 

«1 1+

I н21+ 1 «з I -|- I «4

1+ . . .

+ | ип I + . . .

(2)

 

 

 

 

 

 

если ряд

 

 

сходится,

то схо­

Можно доказать, чтоРяд называется(2)

 

абсолютно,

сходя­

дится и ряд

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щимся, если ( сходится) .

ряд, составленный из абсолют­

ныхОвеличинп р е д е лвсехе н и егое .

членов.

 

 

 

 

 

П р и м е р .

 

Ряд

-------- +

+

^

 

+

 

1 — -

+ - ------ - Ч—

 

(3)

2

4

8

16

 

32

 

 

 

 

 

12*

356

 

 

 

 

 

 

 

РЯДЫ

 

 

 

[ГЛ. XIV

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно сходящийся, так как ряд

"4"

пп—I

 

 

 

+

-

+

-

+ - +

—

+

— +

.

3

 

 

 

2

 

4

8

16

 

32

 

 

 

2

( ),

составленный из абсолютных величин членов ряда

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

1

Однако

не

всякий

сходящийся

ряд

есть ряд абсо­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

лютно сходящийся. Например, ряд

 

п

(4)

1

 

2

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

_ ± 4 _ ± _ і + ± _ ± 4 .

 

. J - >‘

 

 

сходится

'

3

 

4 ^ 5

§

 

^

‘ +

 

 

 

 

(см. пример

131);

но

ряд, составленный из

абсолютных величин его членов

 

 

 

 

 

 

1+ т + і + т + у+ і +

 

••• +

•••

 

 

 

 

 

 

 

 

не

абсолютно

условно

схо­

дящимся.есть гармонический, а потому расходится

(§ 129).

 

 

Ряд

(4)

называетсяСходящийся

 

рядилиназывается

не

абсолютно или условно сходящимся, если расходится

ряд,

составленный

из

абсолютных

величин

всех

его

О п р е д е л е н и е .

 

 

Упражнения

 

 

 

 

членов.

 

 

 

 

сходятся

ряды:

 

 

 

 

 

 

 

 

Выяснить, абсолютно или не

абсолютно

 

 

2

16 ^

,

н (

2− 1) 1+1 ,

 

 

2.

- 1 4 ^ 8

+

—

ТГ-----+

 

 

 

 

 

 

 

 

...

4 (

г− 1)”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

§ 133. Функциональные ряды. Пусть дан ряд

 

 

fi М +

fz(x)

+

fs(xH

•••

+ fЛ *) + •••>

(О

 

 

 

+

членами которого служат не числа, а функции аргу­ мента X. Такой ряд называется ф у н к ц и о н а л ь н ы м . При­ мером функционального ряда может служить ряд

1 + х + х2 + хз + . . . + * " + . . . ,

(2 )

составленный из членов геометрической прогрессии. Если дать аргументу х какое-либо численное значение, то функциональный ряд обратится в числовой.

§ 134]

С Т Е П Е Н Н Ы Е РЯДЫ

357

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Может оказаться, что функциональный ряд при од­

них

значениях

сходится,областьюх,сходимостипри других

ряда.расходится. Со­

вокупность всех

значений

 

при

которых

 

ряд

(

 

)

схо­

 

 

 

 

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дится, называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В пределах сходимости ряда, сумма его членов бу­

дет функцией

 

 

2

 

 

3

 

 

f{x),

 

можем

записать:

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив эту сумму

через

. . .

 

 

 

X

 

 

М

- И

 

М

+

/ М

+

 

+ / . W +

•••

 

 

 

 

равенство

справедливо

только f(x)для

 

значе­

Написанное

 

ний

 

в

областиf2(х),сходимостиІз{х), . . .ряда;

в

этом случае

оно

представляет

собой

разложение

1 функции

 

 

 

в

ряд

функций

/i(x),

 

 

 

 

 

 

Разберем

 

пример.

 

Члены

ряда

2 (2)

при

j л:| <

 

 

>

1

 

 

 

 

собой

представляют|

 

бесконечно

убывающую

геометрическую

 

прогрессию,

а потому

ряд

( ) сходится; при |х

 

 

 

 

члены

этого

ряда

 

представляют

собой

бесконечно\х\ =

возрастающую

геометрическую

прогрессию,

2

потому

 

ряд расходится.

а

 

Данный ряд расходится и при

 

 

 

 

 

 

2

 

образом,

)

 

 

1. Таким

областью

сходимости

ряда

(

является

 

|д :|< Г ,

или,

иначе, — 1 < х < 1 .

 

Найдя

сумму ряда

( ) как

 

сумму

членов бесконечно убывающей геометрической прогрес­ сии, получим:

Теперь мы можем написать*

равенство

 

 

 

 

 

1

 

 

 

■ j jz X = '* + я +

 

2

 

+

* 3

+ . . . + * п + . . . »

 

справедливое только при

 

значениях

аргумента |лс| <Г .

Это

 

равенство представляет

 

собой

разложение

функ-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х.

 

 

 

 

 

 

 

ции -j _

 

 

в ряд по степеням

 

 

 

 

 

 

 

§ 134. Степенные ряды.

Степенным рядом называется

функциональный ряд вида

 

 

 

 

 

апхп

 

 

 

 

а0

+

 

ахх

+

а2х2

+

а3х3

 

 

 

 

4

:4

 

 

+

(

1

)

где

 

 

ах,

а2,

 

 

+ с л + . . . +

 

 

 

а0,

 

 

Яз,

я4, . . . —

постоянные коэффициенты.

 

 

 

 

 

 

 

аргументу

х

какое-нибудьх.

Если в ряде (1) дать

 

 

значение, то получим числовой ряд, который будет схо­

диться

 

или

расходиться

 

в

зависимости

от значения

 

 

358

РЯДЫ

[ГЛ. XIV

 

В полных курсах анализа доказывается, что для лю­ бого степенного ряда существует непрерывная область значений х, при которых этот ряд сходится. Эта об­ ласть значений х обычно называется промежутком схо­ димости степенного ряда*). Применяя известные нам признаки, можно найти этот промежуток сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е . Применим признак Даламбера к ряду

m

,

х

I

4 - .u

 

IХ*\ ,

, | '

( )

—

+

2

 

+1

4

 

3

 

1 3

 

 

Для этого ряда имеем:

и„ =■

Отсюда

lim " л - Н

П-»оо иП

і*л+

Мп+ 1 — п +

находим:

limі . - I. п,X.

Л->=о1 Я + 1

і і

’

«П+

 

Н

л

+11

 

 

”

+

 

 

 

1

п

 

1

ип

 

 

 

 

п

 

 

1

И +

 

І

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

£ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1*1 lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П оо п

і 1

 

 

[

1

г- =

І х\.

 

 

 

=

| А'І lim

 

 

 

 

 

 

 

fl“>oo

__ L

 

 

Для сходимости ряда (3) достаточно, чтобы

lim -% Ы -<

1

, т. е. I а I < 1,

ип

 

 

или иначе

— 1 < А < 1.

Отсюда следует, что ряд (2) сходится абсолютно при значениях а , удовлетворяющих последним неравенст­ вам, т. е. при всех значениях а между — 1 и Д -1 , ис­ ключая крайние значения

Вопрос о том,

а = — Г и а = + 1 .

 

 

а =

будет ли ряд (2) сходиться при

= — 1

и а =

+ 1 ,

нужно исследовать особо.

одной

точки

*)

Иногда

промежуток сходимости состоит х

из

(а = 0), в этом случае ряд сходимости только при

—

0.

 

 

 

§ 135] РЯД МАКЛОРЕНА 359

Положим в исследуемом'

ряде

х

= — 1 и

х

-Из

+

 

 

−

+−

1

_____3

 

 

ь ^ + . ,

 

1

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

1 + Т + 7 + 7 +

 

+ І +

 

 

Первый ряд знакочередующийся, он удовлетворяет тео­ реме § 131, а потому сходится, второй же ряд гармо­ нический, а потому расходится. Итак, исследуемый ряд

сходится

при

—

1

^

х

<

1

,

 

причем

при —

1

<

х <

1

сводится

абсолютно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя ряд (1), получим также степенной

ряд:

а2х

За3х2

+

 

:3

+

. . . +

папхп~1

+ . . .

 

+

2 +

 

 

 

4а,,л

 

 

 

В полных курсах анализа доказывается следующая теорема: степенной ряд можно почленно дифференци­ ровать и интегрировать сколько угодно раз, при этом полученные ряды имеют тот же промежуток сходимо­ сти, что и первоначальный*).

У п р а ж н е н и я

Исследоватьѵ

сходимость рядов:

 

 

 

 

2

 

 

уО

 

 

 

y ß

 

 

» ■

х + т

 

+ - Т +

•••

Ѵп

 

 

2‘

X

+

V 2

 

=F +

 

 

 

,/тг

/ з

у3

 

 

уЛ

 

 

3.

 

 

1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Т Т 2 Т З + -

+ І Д + -

 

+

4.

 

2

'

 

Зх3 +

4хі

 

•••

+ п х п +

(2«)І

5.

X +

 

1• 2 • 3 ■ 4 1 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 ..

 

 

2х2 +

 

 

+

 

 

 

 

§ 135. Ряд Маклорена. Рассмотрим функцию f{x), раз­ лагающуюся в степенной ряд:

/ (х) — а0+ ахх + а2х2+ а3хг + ••• + апхп + . . .

(1)

*) Точнее, у промежутков сходимости этих рядов совпадают со­ вокупности внутренних точек; вопрос о сходимости в крайних точ­ ках следует решать особо.

Смотрите также файлы