Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

или

(2) служит

( )

Равенство

формулой интегрирования по2

частям.

1 . Найти J x c o s x d x .

П р и м е р

тогда

dv — cos X dx,

( 3 )

du =

dx,

cos X dx = sin X

(произвольное

V —

I

напишем

постоянное

интегрирования

в окончательном

результате).

J

Подставив

(3) в (2),

получим:

sin

+

cos

- f

C.

X

cos

X dx =

X

sin

X

— J sin

X dx — x

x

x

П р и м е р

2 .

Найти

J x c o s n x d x .

§ 146]

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е ПО ЧАСТЯ М

381

тогда

du — dx,

По

формуле 4) §

V— I cos nx dx.

108 получим:

1 •sin

nx.

V=

J

cos

nx dx ■■

Согласно формуле

(2) имеем:

: dx

I

X

cos

nx dx ■

X

sin

nx

1

s in /гл

* ):

n

n

nx

+

c.

Q

X

nx

sin

l

|_

__

Sin

I

cos

(4)

X

nx

— cos

nx

n

n

n

Аналогично

можно

найти:

H

И

4

C.

(5)

I .

t

X

cos

nx

.1 sm

X

sm

nx dx — ------------------------5—

П р и м е р

3.

Найти J x2cos nx dx.

Р е ш е н и е . . Положим

u — x*,

откуда

dv = cos nx dx,

6

du = 2x dx,

/

o\

n x d x —

Sin

tlx

( )

6

cos

1

(см.

пример

).

--------

2

Подставим

( ) в

(2):

-

sin

sin

dx--

J

9

j

х г

их

2

2x

nx

.

лг cos

nx dx

X2sin nx

Г

------------

Приняв

----------------------- Xsin nx dx.

n

Ѣ

J

во внимание равенство

(5),

получим:

f ^ c o s nx dx =

x ‘

n nx

_ A f _

X

nx

+ C l} =

J

2x nx

'

+ c. 1

'/

(7)

sin

n

\

n1

cos

2 sin

1Гг

/ia

382

ГА РМ О Н И Ч ЕСК И Й а н а л и з

[ГЛ. XV

Таким'

же

образом

найдем:

2.vsinn.r .

2 cos пх

( )

1 A sin пх dx =

х2 cos п х

,

8

2

§ 147. Примеры разложения функции в ряде Фурье.

П р и м е р

1.

Разложить(

в ряд

Фурье

функцию

X

при

— я

а

О,

ІО

при

0

<

Р е ш е н и е .

а < ! я .

найдем

коэф­

По

формулам

(1) §

143

фициенты

Фурье

=

0

я

+ я

ао: IT I

^ x d x + ^ j o - d x .

Но

J 0

■ dx =

С,

так

как

dC — 0 • dx;

кроме

того,

J 0 ■ dx =

С — С =

0.

Поэтому

1

2

о

а° —

Т~2Г

”- , + т -

0

= т ( ° - 4 ) —

т -

А

ап = —

+Я

пхX

dx —

—

Jо

A cos пх dx

1

я

0 dx.

Л

■

Приняв

/ (A ) COS

равенство (4) §

146,

-)-----

во внимание,

получим:

1

( X sin пх

cos пх

+ 4--о =

1

я*

J r

л

\

п

1

п2

1 /

0 • sin 0

,

cos 0

nsi n( — пл)

, cos(— ля) "I ]

л

і

п

1

п2

п

_

I

(

°

+ 4

л sin пл

cos пл

л

II

§ 147]

П Р И М Е Р Ы

Р А З Л О Ж ЕН И Я

Ф У Н К Ц И Й

В Р Я Д

Ф УРЬЕ

383

Отсюда

c o s ^ = : ^ ( 1 + 1) = T '

ö ‘ = 1T F ( I -

fl2===

я Ь 5^ 1 “

cos 2я) =

W ^ 1 “

1)= 0 ’

'■

ß3 =

7 T F

_ c o s 3 jt ) =

з І г

“

C0Sjl)==(

( 1

( 1

= —!—

4- n =

-!L -

1

32я

v

^ '

32я ’

“

cos 4д ) =

-4 ^ ( 1

- c o s 0 ) = - ^ ( l - l ) = 0