Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 375
Скачиваний: 10
50 |
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ |
[ГЛ. ш |
|
Р е ш е н и е . Через точку А проходит пучок |
прямых, |
||
среди которых находится |
искомая прямая. Следователь |
||
но, |
прежде всего пишем |
уравнение пучка прямых [(3) |
|
§15], проходящих через точку А:
у— 6 = k (х +- 2).
Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) § 13, получим:
Согласно условию параллельности угловой коэффи-
5
цнент искомой прямой тоже равен — j .
5
Подставим найденное значение /г = — в уравне ние пучка:
і/ - 6 = - | ( а: + 2).
Выполнив необходимые преобразования, получим ис комое уравнение прямой:
5х +- Зу —- 8 = 0.
Упражнения
1. Параллельны ли прямые: |
|
4 х + |
б у + 9 = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1) 2х + 3у — 7 = 0 и |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2) |
у |
— |
2х |
— 3 = 0 |
и |
8х |
4у |
+ |
1= |
0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6х —■ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3) |
|
Зх |
— |
5у = |
0 |
и |
+ |
10у + |
5 = |
0? |
|
|
|
||||||
Дать аналитическое уи графическое решения. |
|
|
ах |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. Чему |
равно |
а |
в |
|
уравнении |
прямой |
у |
= |
+ |
4, которая |
па |
||||||||||
раллельна прямой 2 — Зх — 5 = |
0? |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|||||||||||
3. Написать уравнение прямой, проходящей |
через точку |
(2; |
3) |
||||||||||||||||||
и параллельной прямой |
|
у |
= 2х + |
5. |
|
|
|
|
и параллельна пря |
||||||||||||
4. Прямая проходит через точку Л(—2; — 1) |
|||||||||||||||||||||
мой 2х — |
у — |
5. Написать ее уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Точка движется |
по |
прямой, параллельной |
|
|
X |
|
и |
|
|||||||||||||
данной — + -з - = 1 , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
о |
|
и в некоторый момент времени проходит точку Л(— 1; 8). Найти уравнение прямой, по которой движется точка.
6. Даны точки Л(3; 5) и В(—3; 4). Написать уравнение пря мой, проходящей через точку С (—2; 1) параллельно AB.
§ 19] |
|
|
|
|
УСЛОВИЕ |
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ |
|
|
|
|
|
51 |
|||||||||||||
7. |
|
Написать |
уравнение прямой, проходящей |
через точку |
|
А |
(2; |
5) |
|||||||||||||||||
и параллельной |
прямой, |
на |
которой |
лежат |
точки |
|
В( |
—4; |
3) |
и |
|||||||||||||||
С ( - 4Оу; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4х |
|
5і/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Прямая, |
параллельная |
прямой |
— |
— 9 = |
|
0, |
|
пересекает |
|||||||||||||||||
ось |
|
|
на |
расстоянии, |
равном 3 единицам |
масштаба |
|
вверх от |
на |
||||||||||||||||
чала координат. Написать |
уравнение этойу |
прямой., |
|
|
|
Ох |
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. Написать уравнение прямой, отсекающей |
на оси |
|
отрезок, |
||||||||||||||||||||||
|
- г |
|
|
|
- |
|
|
„ |
.V I |
|
= |
|
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равный 5, и параллельнон прямой |
-g-+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
этого |
||||||||||||||
10. Точка /4(4; —3 ) — центр |
|
пучка |
прямых. Выделить |
||||||||||||||||||||||
пучка прямые, параллельные прямым: |
|
|
X |
|
2у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2х |
+ |
Зу |
— 5 = |
0, |
Зд: — |
у |
+ 2 = |
0, |
|
+ |
|
— 3 = |
0. |
|
|
|
|
|||||
11. Дан |
|
треугольник |
с |
вершинами |
/1(6; |
4), |
В( |
—3; |
5) |
и |
|||||||||||||||
С (—2 ;—6). |
|
Написать |
уравнение |
прямой, |
|
проходящей |
|
через |
вер |
||||||||||||||||
шину |
А |
параллельно медиане, проведенной из вершины |
В. |
А |
|
|
|
||||||||||||||||||
12. |
|
Дан треугольник с вершинами 0(0; 0), |
Л (6; |
0) |
|
и |
|
С(0; |
8). |
||||||||||||||||
Написать уравнение прямой, |
проходящей |
через вершину |
|
|
парал |
||||||||||||||||||||
лельно биссектрисе угла С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ 19. Условие перпендикулярности прямых. Так как ct gcp- t gcp=l , то формулу (1) § 17 можно записать в следующем виде:
ctgcp |
1~Ь |
k]k2 |
|
1 |
|
||
k2 |
— |
k\ |
( |
) |
|||
|
|
|
|
||||
Пусть две прямые взаимно перпендикулярны, тогда угол между ними ср = 90°. Подставив в равенстве (1) настоя щего параграфа 90° вместо ф, получим:
|
ctg 90° = |
0 = -‘ + |
|
\ fe2 |
, |
|
откуда |
ь |
k2 |
— |
ki |
’ |
|
|
|
|
||||
1 -j- |
k\k2 0 |
|
|
|
||
И |
|
|
|
|
|
|
Обратно, если
k2 = — - ^ , т. е. k\k2-|- 1 = 0 ,
то дробь в правой части равенства (1) настоящего пара графа равна нулю и, следовательно,
ctg ф = 0, откуда ф = 90°.
А это значит, что данные прямые взаимно перпендику лярны.
52 |
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ |
[ГЛ HI |
Таким образом, если прямые взаимно перпендикуляр ны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).
Так, например, если у одной прямой угловой коэффи-
2 „
циент равен-g, то у перпендикулярной ей прямой он
равен — 5 |
• |
Написать уравнение прямой, |
проходящей |
||||||
|
|
2 |
|
||||||
|
П р и м е р . |
||||||||
через точку |
А ( —3-; 5) |
и перпендикулярной |
прямой |
4х — |
|||||
— |
Зу |
— 10 = |
|
0. |
точку |
А |
|
' |
|
|
Р е ш е н и е . Через |
|
проходит пучок прямых, |
||||||
среди которых находится и искомая прямая. Поэтому
напишем сначала уравнение этого пучка |
|
|||
У - |
5 = |
Ц х .+ |
3). |
(3) |
|
|
|||
Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент ku связанный с угловым коэффи
циентом ki данной прямой равенством (2). Но &2 = у ;
и |
— 3 |
следовательно, kA = |
Подставив в уравнение (3) вместо k найденное его значение ku получим:
У — 5 = — 4 (х + 3).
Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:
4у — 20 = — Ъх — 9,
или |
|
|
Зх + |
4у — 1 1 = 0 . |
|
|
|
|||||||
1. Перпендикулярныу |
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
||||||
ли прямые: |
X |
|
Зу — |
|
|
|
||||||||
|
1) Зх — у |
— |
3 = 0 и |
+ |
|
17 = 0, |
|
|||||||
|
|
|
|
у |
|
|||||||||
|
2) 2х + 5 — 6 = 0 и 5* + 2 — 3 = 0? |
|
||||||||||||
Дать аналитическое и графическое решения. |
|
|
А (2; 7) |
|||||||||||
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку |
||||||||||||||
перпендикулярно к прямой |
Зх |
у |
— 8 = 0. |
|
|
|
||||||||
|
|
— 2 |
|
|
|
|||||||||
3. Из |
точки |
А |
(—2; |
—3) |
на |
прямую |
х — 2у |
+ 3 = 0 опущен |
||||||
|
|
|
||||||||||||
перпендикуляр. Написать его уравнение.
§ 20] |
|
Написать |
|
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ |
ПРЯМЫХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|||||||||||
Л( |
4. |
уравнение прямой, |
проходящей |
через данную точку |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
II |
= |
l. |
|
|
|
|
|
|
—2; — I) перпендикулярно к прямой —------ j |
|
Оу |
отрезок, |
|||||||||||||||||||||
|
5. |
Написать |
уравнение |
прямой, |
|
отсекающей |
на |
оси |
|
|
|||||||||||||||
равный 5, и перпендикулярной к прямой -д- + |
|
|
= |
1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6. Даны координаты вершин треугольника |
АВС: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
АС. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
А |
(3; |
4), |
В |
(2; 5) |
и |
С( |
7; 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Написать уравнение высоты, опущенной на сторону |
|
|
середину от |
||||||||||||||||||||||
|
7. |
Написать |
уравнение |
прямой, |
|
проходящей |
через |
||||||||||||||||||
резка, |
соединяющего точки |
А |
(4; 3) |
и |
В( |
—2; 5), |
перпендикулярно |
||||||||||||||||||
к нему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|||
|
8. Противоположные |
вершины |
ромба |
|
лежат в точках |
|
(Б; 7) |
||||||||||||||||||
и С(3; 3). Написать уравнения его диагоналей. |
|
|
|
|
к |
|
прямой |
||||||||||||||||||
2х |
9. |
Написать |
уравнения |
|
|
двух |
|
перпендикуляров |
|
||||||||||||||||
— |
у |
+ 5 ■ = 0, |
восставленных |
|
в |
точках |
|
пересечения |
ее |
|
с осями |
||||||||||||||
координат. |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, |
2х |
|
у |
|
|
|
|
|
||||
|
10. Построить точку |
(—2; |
5) |
и прямую |
— |
= |
0. |
Выделить |
|||||||||||||||||
из пучка прямых, проходящих через точку |
|
|
две прямые: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1)прямую, параллельную к данной,
2)прямую, перпендикулярную к данной.
AM :11. Точки |
А |
(—2; |
—3) |
и |
В (7; |
9) соединены |
отрезком прямой, |
||
на котором взята |
точка |
М, |
делящая отрезок |
AB |
в отношении |
||||
МВ |
= 1 : 2 . |
Найти уравнение перпендикуляра, восставленного |
|||||||
|
|||||||||
кпрямой AB в точке М.
12.Вершина острого угла равнобедренного прямоугольного тре угольника лежит в начале координат, а гипотенуза совпадает с по
ложительным направлением оси Ох. Написать уравнения сторон
треугольника, если его гипотенуза равна 4. |
треугольнике известны: |
|||
13. В |
равнобедренном прямоугольном |
|||
уравнение |
гипотенузы З х — |
7у |
= 20 и |
вершина прямого угла |
|
||||
С(7 ;—4). Написать уравнения катетов.
§20. Пересечение прямых. Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями
Ах -(- By -|~ С = |
0, |
|
А\Х + |
+ Cj = |
0. |
Требуется найти точку их пересечения.
Точка пересечения данных прямых есть их общая точка. Координаты этой точки удовлетворяют как пер вому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты являются общими корнями данных уравнений.
Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из ал гебры, решить совместно данные уравнения, рассматри вая их как систему уравнений.