Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 304
Скачиваний: 10
386 ГА Р М О Н И Ч ЕС К И Й АН АЛ И З [ГЛ. X V
Искомое разложение |
будет: |
|
Зх |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin X |
sin 2х |
sin |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
|
|
у |
= |
—у ^ -х |
при |
||||||
Полученный хряд сходится |
к функции |
|
|||||||||||||
всех значениях |
в промежутке от |
0 |
до |
2 |
л, кроме |
= |
О |
||||||||
и х = |
2л, как это и следует из теоремы Дирихле. |
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, 2х |
|
sin Зх |
|
|
|
при |
0 |
< X < |
2 |
я. |
|
||||
л —X |
sin а: |
sin |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
~~2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
§ 148. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Функция f(x) называется четной, если при подстановке вместо X величины —х знак функции не меняется, т. е.
f { - x ) = f{x).
Например, х2, co sx — четные функции, так как (—х)2 =
= X2, cos (—х ) = |
cos X. |
Функция /(х) |
называется нечетной, если при подста |
новке вместо X величины —х знак функции меняется на
противоположный, т. е.
f { — x) = — f(x).
«».
Например, х3, sin x — нечетные функции, так как (—х)3= = —Xs, sin (—х) = — sin X. -
Заметим, что произведение двух четных или двух не четных функций есть четная функция, а произведение
четной функции |
на нечетную есть функция |
нечетная |
В самом деле, |
|
, |
(— х)2 cos (— х) = |
х2 cos X — произведение двух четных |
|
|
функций, |
|
(— х)3 sin (— х) = |
X3 sin X— произвёдение двух |
нечетных |
|
функций, |
|
cos (— х) sin (— х) = — cos xsin X — произведение четной функции на нечетную.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относи
§ 148] |
РЯ Д Ы Ф УРЬЕ ДЛЯ Ч ЕТ Н Ы Х И Н Е Ч Е Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И И |
387 |
|
тельно начала координат. Примеры таких графиков даны на рис. 147 для четной функции, на рис. 148 — для нечетной.
Если f( x )— четная функция, то
аа
|
|
|
|
J |
f(x)dx — 2 |
J |
f |
(x) |
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(x) |
~a |
|
0 |
|
|
|
|||
если |
— нечетная функция, то |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Эти |
равенства |
|
J /(X) dx s= 0 . |
|
||||||
|
можно |
подтвердить геометрическими |
||||||||
соображениями. |
Пусть |
а |
|
|
|
выражает площадь |
||||
J / (х) dx |
||||||||||
Рис. 148.
фигуры, заключенной между графиком функции f(x), двумя прямыми X = —а и х = а и осью Ох, тогда в слу чае четной функции [(х) эта площадь равна удвоенной площади фигуры, образованной тем же графиком, осью Ох и прямыми X = 0 и X = а (рис. 147); в случае нечет ной функции площадь равна нулю, так как она состоит из двух равных площадей с противоположными знаками (рис. 148).
. 13*