Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

§ 2]

Задачи

с незакрепленным

временем

225

И при

+

])‘>

“ * ( * ) =

— 1

ПРИ

—

-|— — <

г! < — +

— ,

m =

0 , 1 , . . . ,

k — 1,

и при

k

2k

k.

k

*

у - (Tk +

1) <

t <

Tk\

3)

{xk (t)} =

{ ( 4 (t),

x\ (0} — траектории,

соот­

ветствующие

управлению

uk (t),

0 -< t -< Tk;

4

(0) =

4 (0) = 0,

4 ( 7 4 = 1 ,

_

4 _

_ _ 2 _

4 ( 7 ’*) =

0,

( 1 — a

3 j * <

4 ( 0 <

t,

о < 4 ( 9

<

*

3 .

0 < ^ < 7 1*,

k =

l ,

2 , . . .

Покажем,

что

1

=

Г*,

где

Т ‘ — оптимальное время.

Для

этого возьмем функцию 7( (х, 9 =

— х1.

Тогда

R (х,

и,

t) = (х2)2—

— и8 +

1;

ini

inf

R(x, и, t)= 0 ,

Г

R {xk {i),

uk {t),

t)dt =

1k

(9 ? d t -

j

14

*6£t

1U|<1

J

0

-

j

( k

(o i2— i ) ^ =

J

i4 (o i2^-^o(yfe

oo);

r0(x,

0) =

0

0

0

при

x 6 G (0);

rx (x,

T) =

1

при x £ G

(T ) , T >

0.

Кроме того,

очевидно, формула

(6)

справедлива для всех до­

пустимых

{x{t),

u (t))^ D [0,

Т], T^zO. В силу теоремы 1

тогда J(u h,

Th) =

ТЙ-И =

Т*

(Т* — оптимальное время). Минимизирующие по­

следовательности Th,

xk (t),

uk (t),

k — l,

2,

...,

для

рассматривае­

мой

задачи построены.

Остается

заметить,

что эта

задача

опти­

сающееся задачи быстродействия.

Т е о р е м а

2.

Пусть

в задаче (1 )— (5): / °= 1,

<p0= O i = 0 ,

ц = { Т : Т ^ и } ,

начальный

момент to закреплен. Пусть имеются

последовательности

Tk& u

(xh(t),

uh{t))^ D [t0, Th] (6 = 1 ,

2, ...),

где Tk- + T * > t 0. Для того чтобы Т*

было оптимальным

временем,

достаточно существования функции К(х, t), такой, что:

(x(t),

1) формула

(6)

верна

для любой допустимой

пары

u(t))^ D [t0, 7] при всех T ^ t Q\

2)

Нш f R(xk (t),

uk (t),

t)dt =

f Rmln(t)dt, Rmin(t)= ini R(x,u,t)

k-><x> J

J

(x ,u )e D t

3)

| [Rmln(t) — 1] dt< 0

при любых

T, t0 <CT< 7 ” ;

4)

lim rx (xk (Tk) ,

Tk) = rxmln =

inf

inf

rx {x, T ),

k-*oo

<0< Г < Г * x £ X T

iim rQ(Xfc (ty), t0)

Tqm;n

inf

Гд(х,

tq).

fe->oo

x£Xf0

сти для

фиксированных T * > t 0,

(х*(0> и* (t))^ D [t0, Т*]

в

этой

теореме

надо принять Th= T * ,

xk ( t ) = x * ( t ) ,

Uk(t)— u*(t)

и

все

предельные переходы заменить простыми равенствами.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

выполнены

все условия теоремы,

существуют момент Т и пара

(x(t),

u (t))^ D [t0, Т],

такие,

что

Т<С.Т*. Согласно формуле (6) будем иметь

-

г

J{u ,

T ) - J ( u k (t), Tk) =

T

- T

k =

$

R(x (t),

и (t), t ) d t -

Tk

to

Uh (t) ,t ) d t

+

rx (x (T) , T

) - r x (xk (Tk),

Tk) +

- J

R (Xk (f),

~г r0 (x (t0) ,

t0)

r0 (xk (t0), t0).

7'•

Отсюда при

k

+ oo получим

T — T* = —

J Rmin (t) dt +

*0

+

J R{x{t),u(t),

t) dt -j- тX(x (T) , T)

f

-\r rQ(x (tQ), tQ)

/'omln^’

to

T*

>

- ]

RmlA t ) d t > T - T \

Полученное противоречие доказывает теорему. А

П р и м е р 2.

Пусть требуется наибыстрейшим образом переве­

сти точку х =

(хх, х2) из положения

(1, 0)

в начало координат (0,0)

при условии,

когда движение точки подчиняется условиям х х— х2,

х2= и , \u(t) | < 1, 0 ^ < Г .

Возьмем

Т* =

2; u * ( t ) = — 1 при 0'==£^И

и м * ( 0 =

+ 1

при

K

f ^ 2 ;

соответствующую траекторию at'* ( 0 =

1—0.5i2 при 0 ^ ^ ^

< 4

и X х*

( 0 = 0 . 5 (t—2 )2

при

1й £/<2; x2* ( t ) = —t при

и

§ 3]

Дискретные

управляемые

системы.

Оценка

погрешности

. 227

x2*(t) =st—2 при

1 ^ ^ 2 .

Указанные

управления

и траектория

легко

находятся

из

принципа

максимума

(см. пример 3.2.2.).

Покажем, что они являются оптимальными. Возьмем функцию

К(х, t ) = x l— (t— 1)х2. Тогда

R(x,

и, £)

-х2+ /(х=-гг+К *+1 =

= _ ( i _ l )M + l t

r0(x,

0) s= 1

при

x e G (0 ) =

{(l, 0 )}, r,(x,

T ) = 0

при .ie G ( r ) = {(0,

0 )}. Очевидно,

inf

M R {x ,

u,

t ) ^ — \t— Y\+l = R

ln(t)=R (x*(t),

t),

x € E a |u|<l

2

2

*

[/?mln (0 —

1 ]^ ----- JU —

T

T

при всех Г<С2,

и формула

(6)

верна

для всех допустимых пар.

В силу теоремы 2

момент Т* =

2 и пара t(x*(t), u *(t))^ D [0,

2] оп­

тимальны.

Заметим, что функция Веллмана в этой задаче име'ет разрывы

первой производной как раз на оптимальной траектории [24,

195], в

то время как функция Кротова К(х,

t) является

просто много­

членом.

Упражнения.

1.

Решить проблему синтеза для задачи быстрей­

шего перевода точки х = (х1, х2)

из заданного состояния

(х),,

х2) =

= х 0фО в начало координат при условиях

а)

х1 =

ха,

х2 — и (t),

| и (*)[< 1 ,

0 < ^ < 7 ’;

б)

хх =

х2,

х'2 =

— хх +

u{t),

| и (*)|<1,

0 < / < Г ;

в)

х1 =

х2 +

их,

х3 =

х1 -(- и2,

|и£(/) |<

1

(t = 1,

2),

0 .< * < 7 \

2.

Перевести точку х = (х1, х2,

х8) из начала координат в то

Xi = (а,

0, 0) быстрейшим образом,

если

х1 =

х3, х2 =

х3,

х8 = u(t),.

| и ( 0 1 < К

0 <

t < Т ;

а — const. Показать,

что оптимальное

время

Т* = р

3 2 1а |.

N

1 ([“.]) = £ Pt (xh Щ) + Ф0 (х0) ф- Ф1(xN)

(1)

{=0