Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

228

ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

ОПТИМАЛЬНОСТИ

\Гл. 5

при условиях

0, 1, 2 , . . . , N - 1,

X{+i — Fi (Xj, U;),

£

(2)

xt 6 Gi,

щ 6 Vit

£ =

0 , 1 , 2 , .

N,

(3)

где

-

x, =

(x[,

Xi, . . . , Xi),

Fi =

(Ft,

. . .

, F i),

щ =

(«i..........,

uri): mho-

жества

GiCZEm, ViCZEr, £ =

0,

1,

. . . , N, заданы; функции F{ (х, и)

определены при (х,

u )^ G iX V {,

£ = 0 , 1,

N,

/ = 0 , 1,

п\ функ­

ции Ф0(х) и ФДх)

определены при х е О 0

и x e G lV соответственно;

£— дискретное время,

£ = 0 ,

>1,

N, момент N будем считать из­

вестным;

Как мы убедились в §

4.1, к таким задачам приводит разност­

ная

аппроксимация

задачи

оптимального управления с

непрерыв­

ным временем ([6, 26, 59, 119, 196,

231, 234] и др.).

Если задать управление [и ,]=

(ц0,

«ь •••,

uN) и начальное усло­

вие х0— а, то из уравнений

(2) однозначно

определяется дискрет­

ная

траектория [хг] = (ха, х и

..., хк).

Пару

([xf],

[цг])

назовем до ­

пустимой, если она удовлетворяет условиям

(2),

(3).

Множество

всех

допустимых

пар обозначим

через D.

Допустимую

пару

( [ * ] ,

[«*]) назовем оптимальной,

если

I ([«Л) = inf / ([«,-]) = !*■ П°~

следовательность

допустимых пар

D

назо­

([лег,*], [г^,Л),

/г= 1,

2,

...,

вем

оптимальной,

если она

минимизирует

функционал

(1),

т. е.

П т / ( К Л ) =

/ * .

k-*oo

следующим образом:

(х,

u)^ D i,

если существует допустимая пара

([хт ], Ы е й

, такая,

что Xi =

x,

щ = и. Далее,

через Xi обозначим

множество всех

тех x e G i, для

которых существует

хотя бы

одно

и^. Vi такое,

что

(я, u)^D i.

при x ^ X it i — 0,

Возьмем

функцию К Д х),

определенную

1, ...,

..., АТи положим

R t (х, и) = К с+1 (Е; (х,

и)) — Ki {х) +

F°i{x, и),

£

=

0,

1, . . . , N — 1,

Г0(х) = Ко (х) -(- Ф0 (х),

Г2 (X,

и) =

К.И (х) 4-

Фх (х)

-j- F^j (х,

и).

(4)

С помощью э т т

функций значение функционала

(1)

на любой до­

пустимой паре можно представить в виде

N —1

I ([«Л) =

£

Яг (Xj,

Щ) + Гх (xN, uN) +

rQ(х0).

( 5 )

§

3]

Дискретные управляемые

системы.

Оценка

погрешности

229

В

самом деле,

£

( * t, “ ;)

=

£

I K i+ i (A'i+i) —

K i

( * ;) ]

+

£

F ?

(x £, u t) =

1=0

i=0

£=0

Ко( x ‘o) " T

JV—1

Гl ( X j V ,

— /^ . W (-*-j v )

/ * £ ( - ' - i ,

W ; ) — / ( [ ^ i ] )

^ v ) '

/ о ( ^ o ) ,

t= 0

что равносильно

(5).

Т е о р е м а 1. Для оптимальности последовательности допусти­

мых пар

([x£ift], [«г, d ),

k — \, 2,

достаточно существования функ­

ции Ki(x),

i = 0 , 1,

N, такой,

что:

1)

lim Ri(xik,

uik) = R imin=

inf Rt (x, u),

i =

0,

1 , . . . , Л/-— I;

f t - » o o

{ x , u ) £ D ^

2)

lim /y^fc,

uNk) ' = r lmln=

inf

гх (х,

u)\

f t - » o o

( Л , u ) £ D n

lim r0 (xok) =

r0mln =t inf r0 (x).

k -*o o

x £ X 0

{ Для

получения

формулировки

достаточного

условия оптимально­

сти для

фиксированной пары

([х*],

[«*])££)

здесь

надо

принять

Хц,

=

х\,

uik =

и\,

i =

0,

, N,

и все предельные переходы заменить равенствами.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную допустимую па­

ру ({*,•], [«г]). С помощью формулы (5) имеем

N —I

^ ([“ (•])

^ ([Uift]) =

^ [Ri(Xi,

«;)—

R i ( x ik,

U,-ft)I+

гг (xN,

UN) —

i=0

— rx (xNk,

uNk) +

r0 (x0) — r0 (x0lft) ,

k = 1,

2, . . .

/ ([££;]) — lim / ([uik]) =

N — I

[Ri (xh щ) — Rtmin] +

V

fcM0

i=0

-f- 1 \ (XjV,

U ]\i) 1 \ min ~T

! o (X a)

r 0 min ^ 0 •

Следовательно,

/* = inf / ([u£]) >

lim

/([«i,ft]).

D

k-bOQ

Однако / ([«г,*]) > Г ,

k — \, 2, . . .

,

поэтому lim /([uift]) = Г .