Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Г л а в а 6

Методы минимизации в функциональных пространствах

Выше мы занимались экстремальными задачами: минимиза­ цией функций конечного числа переменных (гл. И, 2) и задачами оптимального управления, связанными с системами обыкновенных дифференциальных уравнений (гл. 3— 5). Наряду с этими задачами большой интерес для практики представляют задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнения­ ми с частными производными, задачи наилучшего приближения функций и др. Оказывается, что все эти задачи можно трактоватькак экстремальные задачи в подходящим образом выбранных функциональных пространствах и для их исследования использо­ вать аппарат и методы функционального анализа. Такая трактовка позволяет выявить общие закономерности, присущие широким классам экстремальных задач, создавать и исследовать общие ме­ тоды решения таких задач. В последние годы теория экстремаль­ ных задач в функциональных пространствах, методы их решения, разрабатывались весьма интенсивно, и количество работ в этой

идр.).

Внастоящей главе рассмотрим ряд методов, которые часто ис­

пользуются для минимизации функционалов на множествах из гильбертовых или банаховых пространств и являются естествен­ ным обобщением методов гл. 2; остановимся на применениях этих методов к некоторым классам задач, часто встречающимся в. приложениях.

Для понимания содержания настоящей главы вполне достаточ­ но знаний основных сведений о банаховых и гильбертовых прост­ ранствах и о функциях действительного переменного в объемеобычных университетских курсов; необходимые сведения можно почерпнуть, например, в книгах [88, 127, 131, 137, 165, 210, 245].

Некоторые определения и теоремы, используемые при описании методов минимизации и их исследовании, приведены в § 1. Изло­ жение методов минимизации применительно к конкретным задачам оптимального управления в § 3—-7 ведется в терминах, связанных: с этими задачами, и для своего понимания не требует знанийфункционального анализа.

же будем иметь в виду вещественные сепарабельные пространст­ ва, не оговаривая этого в дальнейшем. Для краткости банаховы пространства будем называть ^-пространствами, гильбертовы — //-пространствами. Если не оговорено противное, термины «зам­ кнутость», «непрерывность», «ограниченность», «сходимость» будут пониматься в сильном смысле, т. е. в смысле нормы соответствую­ щих пространств. Норму элемента (или, как будем иногда гово­ рить, точки, вектора) в пространстве В будем обозначать через \\и\\в или просто ||«||, если ясно, о каком пространстве идет речь; аналогично скалярное произведение двух элементов и, v в //-про­ странстве будем обозначать (и, v)H или просто \(и, v). Под 5 * бу­ дем понимать пространство, сопряженное к банаховому простран­ ству В; напоминаем, что В * состоит из линейных ограниченных

ных пространствах большую роль играют такие понятия, как гра­ диент функционала, выпуклость множеств и функционалов и др. Эти понятия естественным образом обобщают соответствующие понятия, которыми мы пользовались в гл. 2 при изучении задачи минимизации функций конечного числа переменных.

цируемым в точке u ^ U в смысле Фреше, если при всех к ^ В , для

часть приращения функционала, равная (Г (и ), К), называется диф­ ференциалом Фреше функционала J (и) в точке u^U , а сам функ­

дифференцируемым на множестве U в смысле Фреше, если J'(u)

существует при всех u<=U и ||//(u+/i)—/'(«) ||в »->-0 при ||/i||->-0;.

и, u-\-h^U. Множество всех функционалов, непрерывно дифферен­

удовлетворяет условию Липшица на множестве U,

если IJ ' (и) — У'(о)||в* <[L||« — u||B при всех и, d g U; L = c o n s t> 6

называют константой Липшица.

О п р е д е л е н и е 4. Билинейным функционалом называется ве­ щественная функция Q{u, v) двух аргументов (и, и ) е В , являю­ щаяся линейным функционалом по каждому аргументу при фикси­ рованном другом. Билинейный функционал называется ограни­ ченным, если существует число С, такое, что |Q(«, о) |^С||«|| •||оЦ при всех и, и е В ; число

||Q||= sup |Q (и, о))

H = !

тогда называется нормой билинейного функционала. Билинейный функционал называется симметричным, если Q(v, u )= Q (u , v) при

в евклидовом пространстве. Чтобы подчеркнуть это сходство, квад­ ратичный функционал Q(u, и) будем обозначать через ( Q u, и). Примером простейшего квадратичного функционала в гильбертовом

торых u-\-h^.U, приращение функционала можно представить в виде

дважды непрерывно дифференцируемым на множестве Я в смысле Фреше, если J (и) дважды дифференцируем по Фреше в каждой точке

и 6 U и sup |(J " (u + v) h, h) — («Г (и) h, h) |=

№11=1

=\\Jtt(u + v)-J"(u)\\-+0

п р и IM I-> 0 ,

Множество в'сех функционалов, дважды непрерывно диффе­ ренцируемых на U в смысле Фреше, будем обозначать через C2(U).

П р и м е р 1. Пусть А — симметричный линейный ограниченный оператор, определенный на всем гильбертовом пространстве Я и действующий из Я в Я ; b — заданный элемент из Я . Тогда функ­

сированные элементы рассматриваемого 5-пространства, и+а/г^С/ ■при всех a, O ^ a ^ il. Нетрудно видеть, что тогда формулы (2.1.4— 7) и их вывод остаются без изменений и для функционалов / ( ц ) е € = 0 ( 5 ) .

2. При исследовании экстремальных задач в 5-пространст- вах, как и в конечномерном случае, большую роль играют выпук­ лые множества и функционалы.

О п р е д е л е н и е 6. Множество U из некоторого 5-простран­ ства называется выпуклым, если а ы + (1 — а) t i e U при всех и, и е(/ и всех а, 0 ^ а ^ 1 , т. е. отрезок u-\-a{v— и), 0^'а=~С1, соединяю­ щий любые две точки и, v множества, также принадлежат мно­ жеству.

что выпуклость у функций и функционалов определяется совершен­ но одинаково, поэтому неудивительно, что многие свойства выпук­ лых функций остаются верными и для функционалов. В частности, теоремы 2.1.1— 3 и их доказательства остаются справедливыми и в 5-пространствах, нужно лишь в формулировках этих теорем п до­ казательствах слово «функция» заменить на «функционал». Впро­ чем, скоро убедимся, что в бесконечномерных пространствах такая

множестве из некоторого В-пространства более тонкий, чем в ко­ нечномерном случае. А именно теорема Вейерштрасса из класси­ ческого анализа о том, что функция, непрерывная на замкнутом ог­ раниченном множестве конечномерного пространства, достигает своей нижней грани на. этом множестве, в 5-пространствах оказы­ вается неверна. Проиллюстрируем это обстоятельство на приме­ рах.

как мы видели в примере 5.1.2, не достигает своей нижней грани