Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

сивно.

Напомним некоторые определения, которые нам понадобятся ниже для формулировки обобщенной теоремы Вейерштрасса, при­

вается компактным [слабо компактным] (или секвенциально ком­ пактным [слабо компактным]), если из любой последовательности {«Л}е £ / можно выбрать хотя бы одну подпоследовательность {ukn},

которая сходится [слабо сходится] к некоторому u^U .

О п р е д е л е н и е 11. Функционал J(u ), заданный на некото­ ром множестве U В-пространства, называется полунепрерывным снизу [слабо полунепрерывным снизу] в точке u^U , если для лю­

полунепрерывным сверху] на множестве U, если функционал — J\{u) полунепрерывен снизу [слабо полунепрерывен снизу] на U.

Нетрудно видеть, что для непрерывности [слабой непрерывно­ сти] функционала необходимо и достаточно, чтобы он был полу­ непрерывен [слабо полунепрерывен] как сверху, так и снизу.

Примером слабо полунепрерывного снизу функционала яв­ ляется норма элемента в В-пространстве: 7(ц) = ||и|| i(cm.,. напри­ мер, [127], стр. 173, теорему 1 или [165], стр. 217).

Очевидно, из слабой непрерывности [слабой полунепрерывности сверху или снизу] следует непрерывность [полунепрерывность

ном] множестве U 5-пространства ограничен снизу и достигает на U своей нижней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала покажем, что inf J (и) = J* > uSU

> — оо. В.противном случае найдется последовательность {uh}^ U , такая, что /(«&)->— оо (&->-оо). Так как U компактно [слабо ком­ пактно], то существует подпоследовательность {«*„}, сходящаяся

элементу u*^U . Из полунепрерывное™ снизу [слабой полунепре­

компактности] множеств и полунепрерывности снизу [слабой полу­ непрерывной снизу] функционалов в 5-пространствах. Приведем один широко известный критерий слабой компактности, часто при­ меняемый в прикладных задачах.

Т е о р е м а 2. Замкнутое ограниченное выпуклое множество в рефлексивном 5-пространстве (в частности, в гильбертовом про­ странстве) слабо компактно.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в рабо­ те [127]: она является следствием теоремы 2 на стр. 173 [127] и теоремы 1 на стр. 180 [127] (см. также [88], стр. 461). Подчеркнем, что в-этой теореме замкнутость и ограниченность множества пони­ маются в смысле нормы 5-пространства. Это обстоятельство часто

облегчает проверку условий теоремы в практических задачах. При­ меры важнейших рефлексивных 5-пространств с указанием их ос­ новных свойств приведены в работе [88], гл. IV (см. таблицу на стр. 408— 413).

Далее, остановимся на одном критерии слабой полунепрерыв­

u^U . Выбирая при необходимости подпоследовательность, можем

стр. 173, теорема 2; см. также ниже упражнение 20) следует, что

непрерывный) функционал на замкнутом ограниченном выпуклом множестве рефлексивного 5-пространства (в частности, гильберто­ ва пространства) достигает на этом множестве своей нижней грани.

§ 3—7. Ряд теорем, содержащих различные достаточные условия, гарантирующие достижение функционалом своей нижней грани на заданном множестве 5-пространства можно найти в работах [46] (гл. III), [186]. -

4. В дополнение к теореме 3 остановимся еще на других усл виях слабой полунепрерывное™ снизу функционалов — эти усло­ вия связаны с понятием опорного функционала.

О п р е д е л е н и е 12. Пусть J (и) — функционал, определен­ ный на множестве U банахова пространства 5 . Линейный непре­ рывный функционал /, определенный на В, называется опорным к

ке и. Таким образом, понятие опорного функционала обобщает понятие градиента на случай негладких функционалов. Различные свойства опорных функционалов, технику вычисления и их исполь­ зования при исследовании экстремальных задач в функциональных пространствах можно найти,'например, в работах [73, 99, 199] и др.

Нетрудно видеть, что теоремы 2.5.1, 2.5.3, 2.5.8 и их доказа­ тельства остаются справедливыми р в 5-пространствах, нужно лишь в формулировках и доказательствах этих теорем слово «функция» заменить на «функционал», Е т на 5 .

Для получения условий существования опорных функционалов, аналогичных теоремам 2.5.6— 7, нам потребуются теоремы разде­ лимости выпуклых множеств в 5-пространствах.

О п р е д е л е н и е 13. Пусть А' и I — два множества из не­ которого банахова пространства 5 . Линейный непрерывный функ­

х&Х

цнонал с часто называют опорным ко множеству X.

Справедливы следующие две теоремы, имеющие широкое при­ менение при исследовании экстремальных задач в функциональных пространствах.

Т е о р е м а 5. Пусть X — выпуклое множество банахова прост­ ранства 5 , содержащее хотя бы одну внутреннюю точку (Х ° Ф 0 ), и пусть У — непустое выпуклое множество в 5 , причем Х °[\¥ =0.