Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

282 МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ

\Гл. В

4.

Рассмотрим задачу оптимального управления

линейн

Fi (*i,

Щ) =

Atxt +

В м + f t, i = 0 , l ........... N — \,

(24)

где Au B it fi — заданные матрицы порядка nXn, n X r

и nX 1

со­

ответственно.

Т е о р е м а

4.

Пусть

функции F°, Ф удовлетворяют услови­

ям теоремы 1.

Тогда функционал (1) при условиях (2), (3), (24)

дифференцируем в

[0 , N] и его градиент /-'([«{]) в точке

[и,-]

вычисляется во

формуле

F ( Ы )

= {—

----- t = 0, 1, . . . , N — l j,

(25)

ф, - 1 =

Д-ф,---------- *

дх

* = 0 ,

1, . . .

(26)

Ф//—1 = '

дФ (xN)

дх

.матрицы Л*, В}

получены транспонированием матриц Alt Вс.

„

дФ

dF°

dF°

условию

Если, кроме того, ------,

------- ,

-------удовлетворяют

дх

дх

ди

-Липшица по совокупности (х, и ) ^ Е пх Е г,

то градиент

Л([ц<])

ти функционала (1) при условиях

(2),

(3), (24).

Т е о р е м а

5.

Пусть

выполнены

условия

(24), функция

•'Ф(х)

выпукла

по х на

Е п, a F°t {x,u)

выпуклы

по совокупности

.переменных (х, и), т. е.

;FQi(ax

+ (1 — а) у,

а и +

( 1 — а) v)

< o F ? (х, и) + (1 — а) F°{y,

v) (27)

ври

любых х,

у ^ Е п,

и,

v e .E T,

а е [ 0 ,

1] и i = 0,

1, N— 1.

Тогда

функционал ( 1) выпуклый на Lir) [О, Щ .

Если

при этом

функции

Ф,

F°

удовлетворяют

условиям

теоремы

1,

множества

V{,

i = О, 1,

N— 1,

выпуклы,

то для опти­

мальности управления

[«,•]

необходимо и достаточно,

чтобы

dF° .(х*, ис)

£*■ %, щ — «.ij

> о ,

щ e v h t = 0, 1, . . .

, N — 1.

ди

(28>

Если же вместо (27) имеет место неравенство

F°i (ах

(1 — а) у, аи +

(1 — a ) и) < а .F? (х, «) +

— (1 —- а) F°i {у,

V) — а ( 1 — а)х| и — v f ,

x = c o n st> 0

(29)

при любых х, у ^ Е п, и,

Vi= Е Г,

а е {0 ,

1] и-/=0, 1,

1,

то функ­

ционал (1)

сильно

выпуклый

на L^r)[0, N]

и

задача

(1).— (3),.

(24) имеет и притом

единственное решение на любом замкнутом

выпуклом множестве

£/С17.2Г>[0, N].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Решение задачи

(2),

(24),

очевидно,

об­

ладает свойством

ЛГ; (a[«t] +

(1 — a) [и£]) = а*д[цг]) +

(1 — а)х:£ ([а£])> i = 0 ,

1 , . . .

N,

при любых

а и

любых [ыг], [пг] 6

[0, N].

Тогда

выпуклость

/ ([« J)= a

£

|Щ|2 +

р £

|xt j2+ ух% (а, Р, у =

const)

i = 0

i= 0

при условиях

(2),

(24)

дважды

дифференцируем в

[0, N],

Доказать, что

если

при этом

а,

р, у ^ О , то /([ыг-])

выпуклый,,

2 8 4

МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

х (и) = л: (0) + Ки,

и б В,

( 1)

где К — линейный ограниченный оператор из В в

Х\

№ 11* < | *| И в , и е в ,

1л :| = sup | 7 и * .

IWK1

Пусть U — заданное выпуклое замкнутое . множество из В, у —

некоторый заданный элемент из X.

_

Рассмотрим следующую задачу: минимизировать функционал

J(u ) = ||x(u) — yfx

при u £ U .

(2 )

* ( а и + (1 — a) v) = ах (и) + (1 — a)x(v) при всех

и, v £ В в а £

Ех

(3)

Отсюда и из выпуклости И* — yfx

по переменной х следует выпук­

лость функционала 1{и), Кроме того, из (1) имеем

А х (и, h)5=x{u +

h) — х (и) == Kh,

ЦД*(и, A )l* < ||* ll№ > u ,h C B .

(4)

Приращение функционала I (и) тогда можно представить в виде

/ (и + h) — J (и) = |х (и + К) — у I2 — Iх (и) — у |2 =

=

2 (х (и) — у, Д л: {и,

h)) х + |А * (и, h) fx =

=

2(x(u) — y ,K h ) x +

( K h ,K h ) x ,u ,h £ B .

(5)

Из этого представления, и из (4)

следует, что J (и)

— дважды

не­

(J' (и), ft) == 2 (л: (ы) — у, x ( u + h ) — х(и))х , u , h £ B

(6 )

или если воспользоваться

оператором К *, сопряженным с К

(см.

[131], стр. 279), то (/ '(«),

h.) zs=2(K*(х(и )—у), h). Следовательно,

градиент Г (и) выражается формулой

Г ( и ) ^ 2 К ' { х { щ - у ) , и е В ,

(7)

ром, действующим из

Х * = Х в В*, причем

||/С*|| = ||/(||

([131],

стр. 279), то из (7) следует, что

/'(«) удовлетворяет

условию

Липшица

IIJ' (и) -

J' (v) ||в.<

2 \\КГ\\и -

vis.

2(х(и*) — у, х(и) — х(и*))x = (J' (и"), и — и") > 0 при всех u £ U .

(8 )

+ а 2 ||Дх(ц, h ) f, u ,h ^ B , — о о < а < + оо,

(9)

то g (a )

представляет собой

квадратный трехчлен ^переменной а,

— о о < а <

+ о о , и достигает своего минимума в точке

(x(u) — y , x ( u + h) — x(u))x

(J'(u),h)]

а = а (и, К) = ------------------------------------

5------— =

----------------------=— .

\\x(u +

h) — x{u)fx

2 1 | Ддс(а, Л)|^

( 10)

286

МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И

В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х

ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

спуска для минимизации J

(и) == ||jc(m) — г/||2 на Я

приводит к после­

довательности

«л+1 =

ы„ — сбл

я =

0 , 1 , . . .

,

(11)

причем параметр а „ ^ 0 , определяемый из условия .

m ingn (а) =

gn (а„), gn(а) = J {ип — а J' («„)),

а^О

здесь может быть выписан в явном виде. А именно, если

A jc(w„,

J

(un) ) ^ x { u n

J' (ыл))

х(ип)=^0,

то согласно формулам

(9),

(10) g n(a) достигает своего минимума

на числовой оси при

а =

а п = а

(ип, —J ’ (u„)) = -j

ИУ' (ип) |2 1|А х (и„, — J ’ (ип)) Ц" 2 >

0.

Если

ап =

0 , то

J'(un) = 0

и

в

силу

(8 )

и„ = ы*

есть

точка

минимума

J {и)

на

Я ,

и процесс

(И )

на

этом

заканчивается.

Если

ж е а „ > 0 ,

то

в

( 1 1 ) принимаем

а п =

ап,

и процесс

про­

должаем дальше. Наконец, если

Дх(ип, — J'{un) ) =

0 , то из

(9)

при и = ип,

h = — J'(un) имеем

g-n (a) = / (u ) = const

при

всех

a,

— o o < a < + ° o . С учетом формулы

(2.1.4) тогда

gn(a) ss (J' (un — a J '

(un)),

— J' (un)) =

0

при всех a. В частности,

gn (0) =

— \J' (un) f

=

0 или J ’ (un) =

0,

что в силу

(8 ) приводит к оптимальности ип= и*. Таким

образом,

если при некотором п

или

Ах (ип, — J' («„)) =

0, или а п = а* (ип, — J' (ип)) = 0,

то «п= ы*

— точка минимума J (и)

-на Я , и процесс (И )

заканчи­