Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

288

МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О Н АЛ ЬН Ы Х ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

Если

а„ =

0,

то /п («п) = 0 ^ (/ '(«„),

и— ип)

при

всех

ыеС/,

и в силу

(8)

ип— и* есть точка минимума J(u)

на

U, т. е.

про­

цесс на этом заканчивается. Если

a n> 0 , то квадратный трехчлен

g n (а)

достигает своего минимума

на

О г^а^Ц ,

очевидно,

при

Наконец,

если х(ип) = х ( и п) ,

то

в

силу

(12)

снова

/„(«п) = 0 ^

^1(/'(ц „),

и— ип)

при всех

u^U ,

что

в силу

(8) означает опти­

мальность

ип— и*,

и процесс на

этом заканчивается.

Из теоремы

2.3 следует,

что lim J ( u n) =

J*.

Неравенство

(2.6.6),

которое для

Л - > оо

рассматриваемой задачи запишется в виде

0 < У(ип) —

< |/„(ц„) |= 2 (л:(ип) — у,

х («„) — х («„))

0 (я -*о о ),

*

задачи (3.39—

41)

(другие приложения см. в § 6, 7).

4.

Пусть

требуется

минимизировать

функционал

[94,

135,

161]

J(u) =

\ x (T ,u ) - y \ En2

.

(13)

при условиях

х =

A (t) х -ь В (t) и +

/ (t), t0< t < Т\

х (t0) =

х0,

(14)

u =

u ( t ) e U ^ L i r)[t0,T\,

(15)

где х = (х*,

...,

хп),

и = (ц 4,

..., ur)\

U— заданное выпуклое множе­

ство из Lir)[t0, Г ];

A(t), B (i)

—

заданные матрицы

порядка пХ п

При

любом и = u (t)^ Lir) [^о, Т] [соответствующее

решение за­

дачи (14)

представимо в

виде

х (t, и) =

x(t, 0) + У(t, и), t0< t

< Г ,

(16)

где x(t,

0) — решение

(14)

при u = 0 , y{i,

и) —. решение (14)

при f-(i) =

0,

хо= 0 . Пользуясь

неравенством

(3.26) при Ах = у ,

h ( t ) = u ( t ) ,

получим оценку

_____

т

(17)

sup

\y(t, ы )|< С х

U u (t)\ d t< C 1V T — tQ |и (t) I (r)

t-i

l 2

Uo.rj

S 5]

Минимизация квадратичного функционала.

Примеры

289

Равенство х(Т,

и ) = х ( Т ,

0 )+ у (Т , и)

можно

рассматривать

как представление (1)

при

B ^ L i r)[t0, Т], Х = Е п,

Ки = у ( Т ,и },х (0 ) = х (Т ,0),

х(и) = х (Т ,и ).

Очевидно,

К и = у ( Т ,

и) — линейный оператор

из L 2r){

[70, Т]

в Е п,

ограниченность которого следует из неравенства (17).

Как видим,

задача (13) — (15) является частным случаем, задачи

(2).

Далее,

задача

(13) — (15)

удовлетворяет

всем

условиям

тео­

ремы 3.4. Поэтому выражение для градиента

здесь

расшифровы­

вается так:

и),

(18)

где ф (/, и)

является

решением задачи

ф = - Л * ( 0 ^ ,

*0 < * < Т , Ъ(Т) =

- 2 [ х ( Т , и ) - у ] .

(19)

Первый дифференциал в силу (6), (18)

представим в Биде

(J' (и), И) £= 2 (х (Т, и) —■у, х (Т,

и + h) — х (Т,

и))Еп =

т

=

-

j (5* (t) ф (t, и), h (t))Bf dt.

(20)

*0

задача (13) — (.15) имеет хотя бы одно решение u = u *(t)

на любом

выпуклом замкнутом

ограниченном

множестве U из

l}2 |/0» Т],

причем для

оптимальности u*(t) необходимо и достаточно выпол­

нения неравенства

г

- j (Я* (0 ф (t, и*),

и (t) -

и* (t))Br dt =

^0

= 2 (х (Т , и*) -

у, х (Г,

и) — х(Т, и'))Еп > 0 , и (0 € £/,

Метод

скорейшего

спуска

для

задачи

(13) — (15)

при U =

= L2r) [/0, Т]

имеет вид

Ия+1 (0 = ип(0 — СС„ J' (и„),

п =

0 , 1 , . . . ,

j' («„) S

-

5* (0

ф (/, ия), *0 <

* <

7\

(21)

где ф(*, ип) — решение

задачи (19) при u = u n(t),

а„ = с ^ > 0 ,

г

*

.(■

|В *

(0 ф (/, ип) || dt

J

-г

-------- *2______________________ __ =

2 1х ( Т , ип

J

‘ (u/j))—

х (Т t ип)