Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Скачать файл (13,51Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

$-5]

* Минимизация квадратичного функционала. Примеры

291

т_

	J (В* (<) г)1 (f, ип) ,				ип(<) — un (t))E dt
	a n = -!•------------------		------------------------------					=
	2		\|■*(T , un)		x (T , ыл)
	(л; (Г, ип) — у , х (Г, йЛ) — х ( Т , ип))Е
	= ----------------------		Г------------------------------	х (Т , ип)				— > О
	\|х ( Г , иЛ)
(если а л =	О или х(Т, йп) = х(Т,			ип), то Un{t) = u *(t)					— оптималь
ное решение задачи (13) — (15),				и итерационный процесс на этом
заканчивается).
5.	Остановимся	еще на		одном частном				случае			задачи (
минимизировать функционал [93, 97, 161]
	/ (« )=	\\x(t,u)-y(t)\% ndt									(24)
		<о
при условиях (14), (15); y(t) —				заданная функция из L^r) [£0, Т].
Представление (1) для этой				задачи		вытекает			из	равенства
(16), если взять
	B ^ L P [ t 0, Г],		X = LP[t0, Т],			х(0) =		(.<)),
Ku==y(t, и), х(и) —x(t, и).			Очевидно, K u = y(t, и),								— ли
нейный оператор из L.P [£„,			Т ] [в Lin) [£0, Т], ограниченность которо
го следует из оценки (17).			Как было доказано выше,							тогда функ
ционал (24) при условиях (14)				является выпуклым и' дважды
непрерывно дифференцируемым в					L2r)[t0,	Т].	В	силу теоремы 3.4
градиент этого функционала имеет тот же вид (18),									т. е.		J'( u ) = <
= — В*(/)ф(/, и),			однако ф(£, и)				здесь является реше
нием задачи
ф = + 2	[ x ( t , u ) - y ( t ) ] - A ' ( t ) ^ ( t ) , f0< f < 7 \							Ф(Т) = 0.			(25)
Первый дифференциал с учетом				представления				(6)	тогда		запи
шется в. виде
	h) = 2 j (x(t, и) — у (t), x (t,u +					h) — x(t, u))Endt =

Если U выпукло в L ^ ] t n,T\, то, для того, чтобы u * (t)^ U

Ю1/»*

292 МЕТОДЫ М И Н ИМ И ЗАЦ И И В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ Га . 6

было оптимальным решением задачи (24), (14), (15), необходимо и достаточно выполнения условия

(В* (0 1|>(t, i f ) , и (t) -

и* (t))Bf dt s

(x (t, u*) — y ,x (t, u) — x (t, ц*))епflK > 0 ,u (i)e l/ ..

2 j

Метод скорейшего спуска для задачи

(24),-

(14),

(15)

при

U =

L 2r)(

[t„, Т]

заключается

построении

последовательности

{un{t)}t=U

по закону (21),

где ф(£,

tin) — решение

задачи

(25)

при u = u n (t),

а„ = а * > 0 ,

а, =

---

Г |B * ( t ) ^ ( t , Ил) 1% dt

to_______________ Г _

2 j \ x(t,

un — J '

(un))—

x {t,

un) ||ndt

f (* (t,

un) — ij{t),x {t, un — J' (u„)) — x (t, un))E

> 0

*0 _________________________________________

) \ x (t,u n —

J ' (ii„)) — x ( t , un) || dt

(если c£ =

0 или

x(t, un— J'(un) )s s x (t ,

un),

t0^.\t^.T, to un(t)='

= u*(t) — оптимальное решение задачи

(24),

(14),

(15),

и итера

ции на этом заканчиваются).

Метод проекции градиента для задачи

(24),

(14),

(15) в слу

чае выпуклого множества U имеет вид

ип+1 =

Ри (и„ (0 +

апВ”(t) ф (t,

ип)),

я =

0 , 1 , 2 , . . . ,

где ф(£, и-п)— решение задачи

(25)

при u = u n {t),

а параметр а п

может выбираться из условия

8i "С ап'С

е* + eJ. с = сх Vт £0>

где C i> 0 постоянная из оценки

(17),

si,

е —

положительные кон-

станты,

(^например,

Если

un+l(t) = u n{t),

•< ■

С2+

то

un {t) —u*(t)

—

оптимальное

решение задачи

(24), (14),

(15),

и итерации на этом заканчиваются. Если множество U имеет вид

(3.28)

, то проектирование'на

осуществляется

по

формулам

(3.29) .

§ 5 ]

Минимизация квадратичного функционала.

Примеры

293

Метод условного градиента для задачи (24), (14),

(15)

в слу

чае выпуклого

замкнутого

ограниченного

множества

из

L&r) [t0, Т\

заключается

построении

последовательности

{un( t) }^ U

по закону (23),

где

un(t)

определяется из

(22)

или

эквивалентного условия

f (x(t, un) — y(t),x {t,

un))Endt =

min

Г (x(t, un) — y{t), x{t, u))Endt,

u&J У

где ф(£, un) — решение задачи

(25) при u = un{t),

(B * (0

(<. un), un (t)

— un {t))Er dt

a n ~

2J |x (t,

un) — x (t, un) I2dt

J (X (t, un) — y ( t ) ,x (t, un) — x {t, un))En dt

J I x {t, un) — x (t, ип) I2dt

(если c£ = 0

или

x(t,

un) =

x(t,

un),

t o

un (t) =

u" (t) — оптимальное

решение задачи

(24),

(14),

(15),

и итерации на этом заканчиваются).

Упражнения. 1. Применить метод сопряженных градиентов для решения задачи (2) при £ / = £ . Полученные формулы распи-

2. Описать методы скорейшего спуска, проекции градиента, условного градиента и сопряженных градиентов' для минимизации

функционала J (и) = -^-{Аи, и) — (Ь, и) из примера 1.1 в предполо

жении положительности оператора А:

(Аи, ы)^х||и||2 при всех

«е Я , x = const>0.

3.Описать методы § 2 для решения задачи минимизации функционала

тт


J(u) = a1 ^\u(t) \2dt + а 2			IX(t,.u) — у (t) i2 dt + а 31X (Т, и) — у \|2
при условиях (14), (15).			Здесь числа	а ^ О ,	y(t) — заданная
функция из	L f [ t 0t Г ],	у — заданный вектор из
4.	Пусть требуется решить задачу (24),				(14), (15)	при доп
нительном	условии х(Т,	и)=.у, где у —		заданный вектор		из £ „ .

Ю ф. п. Васильев

294 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

Указать примеры штрафных функционалов на условие х(Т, и )= у . Рассмотреть случай Pk {u )= k\ x{T , и )—у |2 и указать методы мини мизации функционала /А(и) = / (u ) + Р к (и), й = 1, 2, при усло виях (14), (15). Как ввести в задаче (24), (14), (15) штрафы на ограничение

sup	х1 (t, и) < 1? sup \|х (t, и) \|<		1?
Можно ли принять
	т
Pk(u) =	k j	\|max {x1 (t, u) — 1; 0} \|2 dt,
	to
T		T
Pk (u) = k J max (xl (t, u) ~ 1; 0} <#? Pk (u) = k j			( \|x (t, u) \|— 1 )dt,
Pk (и) =	k J	\|max { \|x (t, u) \— 1; 0} \|2 dt?

§ 6. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА СТЕРЖНЯ

Рассмотрим часто встречающуюся на практике задачу опти-, мального управления, которая в теплофизических терминах имеет следующий смысл. Пусть дан однородный стержень ле вый конец s = 0 которого теплоизолирован, а на правом конце s = l

происходит теплообмен с внешней средой.			Требуется,	управляя
температурой внешней среды, к заданному			моменту	времени Т
привести температурный режим в стержне,			как можно ближе
к заданному режиму [35, 40, 104, 107, 162, 183, 227].
Математическая формулировка этой задачи: минимизировать
функционал
		/(«) = j\| x ( s ,r ) - t/ ( s ) \| 2ds		(1)
		о
при условиях
ot	=	(s,06Q = {0<s<Z,	0 < f < n	(2)
ot		OSa
i i M		= o , o < K r ; ^ , o ) = o, o < s < / ,		(3)
OS

= V [u (t) - X(/, Q], 0 < t < T,

(4)

§ S]	Оптимальное	управление процессом нагрева стероюня	295
	u = u (t)e U = {u = u(t)£Lz[0, Г ], \|и(/)\|<1
	почти всюду при 0 < t < Т),		(5)
где I, Т, v — заданные положительные константы, y(s)			— задан
ная непрерывная функция на отрезке
	Решением задачи	(2) — (4), соответствующим управлению

u = u (t)^ U , называется функция x(s, t)zz=x(s, t, и), которая удов

летворяет	условиям		(2), (3) в обычном,	классическом смысле
[107], а условие		(4)	выполняется в слабом смысле, т. е.
	г
-	П т Г Г		^ ^ ----- v(u(t) — x(s, /))] q>(t)dt = 0
	s-*i—o J	L	&s	J
	о

для любой функции Ф (t) 6 L2 [0, Т]. Можно доказать [107], что ре шение задачи (2) — (4) при любом u = [u (t)^ U существует и единст венно. Кроме того, справедлива оценка [35, 125]