Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

296 МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6

Т

Т

Т

х{1, t)u(t)dt<Cv

t)di +

^ и2 (t)dt.

О

0

0

Подставляя это неравенство в

(8), сразу

придем

к

требуемой

оценке (6).

является частным

случаем задачи

(5.2). Что­

Задача (1) — (5)

бы убедиться в этом, достаточно в

(5.1)

положить

B =

L 2[0, Т], Х = Ь 2[0,

l],x{u ) = x (s, Т, и), х (0) =

=

a-(s, Т, 0) =

0,

Ku = x(s, Т, и),

причём оператор К,

действующий

из L2[0,

Т] в L2[0,

/], очевидно,

=

0 < г < 7 \ *

(9)

где ф(5, ^ ) = tJ5(s ,

t, и) является

решением

следующей

краевой

задачи:

дт|>

d2ip

(S, t) е Q,

( 10)

dt

ds2

’

dV(o,t)

=0| J W

J L

=

— Vip(itt)t о < t < T ,

( П )

ds

ds

il)(s, T) = c (s), 0 < s < / ,

( 12)

где c ( s ) = 2 [ x (5,

T, u) — y (s )],

O ^ s ^ l

Можно доказать

сущест­

вование и единственность

решения

ф(5, t)==ty(s,

t, и)

задачи

(10) — (12), которое удовлетворяет условиям

(10),

(12) в

класси­

ческом смысле, а условиям

(11)

— в

слабом

смысле,

причем

имеет смысл говорить о значениях ф(/,

t ) ^ L 2[0,

Г ], являющихся

пределом в Ь2[0, Т] значений ф(«, t):

s-lim*l—0 I|tJ)(s ,

—

t) |2 dt

Выведем формулу (9)

для градиента. Пусть u(t),

v(t) = u {t) +

+ h ( t ) ^ U , и пусть x{s, t,

u )= x (s , t), x ( s ,t ,v ) = x ( s ,t )

+Ax(s, t) —

§ 6]

Оптимальное управление процессом нагрева

стержня

297

соответствующие этим управлениям решения

краевой

задачи

о

о

(13)

Заметим, что функция Ax(s,

t) является решением краевой задачи

(2) — (4)

при u ( t ) = h ( t ) , и,

следовательно,

справедлива

оценка

i

т

| | Д * (8 ,Г )| « * < - ^ | А '(*)| * Я ,

(14)

о

о

вытекающая из

(6)

Учитывая это обстоятельство и условия

(10) — (12),

имеем

i

т

j с (s) Ax (s, Т) ds = J

ф(s, Т) Ax (s, Т) ds = j

( j

(фДх) dt^j ds =

= Я ( ‘f ^ + 16 ^

= Я h ■ S - + ^

“ =

=

\

( г 1 7 А*

+

1т г ) С

'

=

[l' t ) M '(/’ t] +

0

4

0

T

•+ ф (/, t)v[h(t) — &x(l, t)]}d t= v ^ф(/, t)h(t)dt.

(15)

0

Так

как

c (s )= 2 [x (s ,

T, u) — y (s)],

то

формула

(13)

с . учетом

(14),

(15)

запишется в виде

J ( u + ti) — j

(«) = J

Vij?(/, t)h{t)dt +

0 ( |

| Л .

о

Сравнивая

полученное

выражение для приращения функционал.а.

с (1.1),

находим, что

градиент J'(u)

выражается

формулой (9),

а дифференциал

(/'(u),

К) имеет вид

т

I

( J 1(«), h)Lt[0,T] =

v

и) h(t)dt =

2 j

[х (s, Т, и) — у (s)] Ах(s, Т) ds.

о

о

условиях (2) — (5)

требуется

последовательно

решить

краевые

задачи

(2) — (4) и

(10) — (12).

Для решения этих краевых задач

можно

использовать различные приближенные

методы,

в част­

227];

интегралы (1),

(16) вычисляют с помощью квадратурных

формул [19].

Заметим, что приведенное выше доказательство равенств

(7),

(15)

носит формальный характер, поскольку законность всех

про­

деланных при выводе

(7), (15) операций осталась необоснованной;

строгий вывод (7), (15)

см. в работе [35].

В

силу теоремы

1.4

оптимальное решение u = u *(t)

задачи

(1) — (5) существует,

а согласно теореме 2.1.3 и формуле

(16)

для

оптимальности u*(t)

необходимо и достаточно, чтобы

т

ента для приближенного

решения задачи

(1 )— (5). Пусть

un(t),

О ^ ^ Т ( п ^ О ) известно.

Определим

un(t)

из условия

f Ф(I,

“«)

(0 dt = min

Г ф(I, t, ип) и (t) dt,

где ф(в, t, ип) — решение задачи

(10) — (12) при и = и п.

В

рас­

сматриваемом случае

un{t) легко выписывается в явном виде

1,

если ф(/, t,

ип) < 0 ,

“л Н

- >

;

если ф(£, t,

ил) > 0 , ' 0 ;< < < Т .

Далее, г полагаем

ип+х (t)

=

ип (t) + а„ [ип(t) — ип(if)]' 0 < t <

Т,

где

«л = m in {l; а * } > 0 ,

г

ф)(/, t, a)[un {t) — un {t))dt

v J

2 J

|дс (s, Г , un) — x ( s ,T ,

un) |a ds