Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

Величина главного вектора сил равна величине равнодей­ ствующей, одинаковы и их направления, но линии их дей­ ствия различны, так как точка О, в которую переносили силы, была выбрана произвольно. Можно было бы выбрать вместо точки О другую точку и линия действия главного вектора сил изменилась бы, пройдя через эту новую точку. Только в том случае, когда все действующие силы сходятся в одной точке, вектор равнодействующей и главный вектор сил совпадут и линия их действия будет одной и той же. Величина и направление главного вектора R' не зависят от расположения точки, в которую переносятся силы. От рас­ положения этой точки зависит лишь линия действия глав­ ного вектора сил.

Теперь рассмотрим все присоединенные пары с момен­ тами Мх, М2, М3 и М4 . В § 21 было установлено, что момент пары равен сумме моментов сил, составляющих пару, отно­ сительно выбранной оси.Все силы F[, F2, F3 и F'b входящие в состав присоединенных пар, проходят через точку О. Поэтому моменты указанных сил равны нулю. Следова­ тельно, моменты присоединенных пар равны соответствую­

главным моментом данной системы сил относительно вы­ бранной оси:

M0 = 2Mi.

Индекс о в обозначении главного момента М0 показы­ вает, что силы переносятся в точку О (рис. 52, в). Эту точку обязательно нужно указать, так как численное значение и знак главного момента зависят от расположения точки. С изменением ее положения изменяются расстояния йг от точки до линий действия сил Fu а значит, и моменты сил Mi,

как говорят, от приведения системы сил к одной точке, можно сформулировать так.

Действие на тело системы сил, произвольно расположен­ ных в плоскости, всегда можно заменить действием одной силы, равной главному вектору этой системы и приложенной

74

не главного момента, но противоположного знака. Если будут соблюдены указанные условия, то действие силы F, приложенной в точке А, полностью компенсирует дей­ ствие всех остальных сил. Перенося силу F из точки А

75

в точку О, получим силу, уравновешивающую все ос­ тальные силы, сходящиеся в одной точке и равные глав­ ному вектору сил, а также пару, уравновешивающую все присоединенные пары и равные главному моменту(рис. 53, б).

всех приложенных к телу сил, перенесенных в одну точку О, равна нулю.

Если построить многоугольник сил, сходящихся в точ­ ке О, то он окажется замкнутым. Это условие может быть выражно и в аналитической форме, наиболее удобной для решения задач.

В § 16 было доказано, что векторное равенство R' = 0

но той же оси. Поэтому равенство нулю главного момента

Для равновесия тела, находящегося под действием сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и доста­ точно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две выбранные оси х и у равнялись нулю и алгебраическая сумма

76

Уравнения (19) называют общими уравнениями равнове­ сия тела и применяют при решении разнообразных задач.

Следует заметить, что не обязательно каждую задачу о равновесии тела решать с помощью двух уравнений проек­ ций и одного уравнения моментов. При равновесии тела рассматривается сумма моментов относительно оси, про­ ходящей через точку О, которая выбирается произвольно. Поэтому вполне допустимо вместо одного или обоих урав­ нений проекций сил применить одно или два уравнения моментов сил относительно оси, проходящих через какиенибудь две другие точки. Выбирая три точки Л, Б и С, не лежащие на одной прямой, получим уравнение равнове­ сия тела в виде трех уравнений моментов сил относительно осей, проходящих через эти точки:

Для равновесия тела, находящегося под действием сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и доста­ точно, чтобы порознь равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно каждой из осей, проходящих через три про­ извольно выбранные точки, но не лежащие на одной прямой.

Выбирая какие-нибудь две точки Л и В и одну ось проек­ ций, не перпендикулярную к прямой АВ, получим уравне­ ние равновесия еще в одной форме:

Системы уравнений (19), (20) и (21) равносильны друг другу. При решении задач используются те уравнения, которые оказываются более простыми и удобными в кон­ кретном случае.

Следует отметить, что можно написать сколько угодно уравнений равновесия, взяв для этого самые разнообразные оси проекций сил или оси, относительно которых опреде­ ляются моменты сил (ведь они выбираются произвольно).

77

Однако независимыми из составленных уравнений будут только три уравнения для общего случая расположения действующих на тело сил или два уравнения для частных случаев: параллельных сил или сил, линии действия кото­ рых пересекаются в одной точке. Все остальные уравнения всегда можно свести к этим трем или двум (в частных слу­ чаях) независимым уравнениям, выполнив соответствующие математические преобразования. Другими словами, не удается найти какие-либо новые уравнения, которые бы после упрощений отличались от уравнений (19), (20) или (21).

Пользуясь методами статики абсолютно твердого тела, можно решить только такие задачи, в которых число неиз­ вестных не превышает числа независимых уравнений. Эти задачи называют статически определимыми.

§ 24. Замечания к решению задач о равновесии тела под действием сил, произвольно расположенных

в плоскости

При решении задач о равновесии тела целесообразно придержи­ ваться определенного порядка. Прежде всего необходимо хорошо изу­ чить условия задачи и уяснить, что именно является неизвестным. Это позволит сформулировать цель, которая должна быть достигнута в ре­ зультате решения задачи. Затем нужно сокращенно записать условия задачи, выбрав соответствующие обозначения заданных величин и сделав ясный схематический чертеж или рисунок. После этого пооче­ редно выделяют тела, равновесие которых необходимо рассматривать в данной задаче, освобождая их от связей и заменяя действие связей соответствующими силами реакций. На чертеже или рисунке схема­ тично наносят все векторы внешних сил, включая силы реакций связей, действующих на тело. Как правило, силы реакций связей бывают неизвестны. В большинстве задач требуется определить их величины и направления.

тела в геометрической или аналитической форме, изученные выше. Наиболее удобно использовать условия равновесия тела в аналитиче­ ской форме. При этом можно рекомендовать следующие приемы, облег­ чающие решение.

Оси проекций сил выберем взаимно перпендикулярными, а одну из осей расположим перпендикулярно к линии действия одной из неиз­ вестных сил. В этом случае проекция указанной силы исключается из соответствующего уравнения равновесия и решение уравнений упро­ щается.

Ось, относительно которой вычисляются моменты действующих сил, выгоднее проводить через точку, лежащую на линии действия неизвестной силы, а еще лучше через точку пересечения линий дейст­ вия двух неизвестных сил. При этом момент каждой неизвестной силы будет равен нулю вследствие равенства нулю плеча силы и эта неизвест­ ная сила исключается из уравнения моментов.

78