Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

Касательная составляющая силы F\ вызывает касатель­ ное ускорение а т тела, изменяющее величину скорости. Величина этой силы определяется на основании второго закона Ньютона: FT = т а т . Эта сила направлена по каса­ тельной к траектории.

Нормальная составляющая силы FH вызывает нормаль­ ное ускорение а„, изменяющее направление скорости. Ве­ личина этой силы равна Fu = тап. Ее направление совпа­ дает с направлением, перпендикулярным к касательной.

Рассмотрим частный случай криволинейного движения, наиболее часто встречающийся в технике — движение по окружности.

§ 69. Действующие силы при равномерном движении по окружности

Проведем следующий опыт. К валу центробежной ма­ шины прикрепим тонкий металлический стержень. Просвер­ лим в шарике отверстие и на­

зиновые нити начинают растягиваться. В результате де­ формации возникают силы упругости, действующие со сто-

174

роны нитей на шарик. Эти силы приложены к шарику и

гаться по криволинейной траектории А^АхА. Деформация нитей все время возрастает. С увеличением деформации растет величина сил упругости (см. § 3). Возникает вопрос: до каких пор будет происходить деформация нитей и увели­ чиваться центростремительная сила? При изучении кине­ матики в § 46 было установлено, что равномерное движение по окружности есть движение с постоянным нормальным (центростремительным) ускорением, величина которого

аа = —. В соответствии со вторым законом Ньютона вели­

Для того чтобы тело двигалось по окружности равномерно, на него должна действовать сила постоянной величины, из­ меняющая свое направление так, чтобы она все время была направлена к центру окружности. Поэтому в рассматривае­ мом опыте деформации резиновых нитей прекратятся и ша­ рик начнет двигаться по окружности, как только величина сил упругости достигнет значения FH.

Во всех случаях равномерного движения тела по окруж­ ности всегда можно обнаружить центростремительную силу, действующую на рассматриваемое тело со стороны какоголибо другого тела и направленную к оси вращения. При движении железнодорожного вагона по закругленному пути — это сила упругости деформированного рельса, дей­ ствующая на колеса. Спортсмен, раскручивающий молот перед броском, тоже действует на него силами упругости в месте, где он держит молот. При повороте любого колес­ ного самодвижущегося экипажа (автомобиля, мотоцикла, велосипеда и т. д.) — это силы трения, действующие со стороны дороги на машину. На искусственный спутник Земли действует сила тяжести. В случае движения планеты вокруг Солнца — это силы притяжения к Солнцу. Обратите внимание на то, что в последних двух примерах центростре­ мительная сила является силой, действующей на расстоя­ нии.

175

До сих пор мы рассматривали только центростремитель­ ные силы, действующие на движущееся тело со стороны других тел, со стороны связей, искривляющих траекторию данного тела. Однако из третьего закона Ньютона следует, что должна существовать сила противодействия, равная по величине центростремительной силе, направленная в противоположную сторону и приложенная к связи, к дру­ гому телу, удерживающему движущееся тело на окруж­ ности.

В опыте, который мы рассмотрели вначале, на шарик действовали силы упругости, возникающие в результате деформаций резиновых нитей. В свою очередь, шарик также деформируется, действует на нити и через них на вращаю­ щийся вал, к которому другими концами присоединены нити.

Сила, с которой вращающееся деформированное тело действует на связи, на тела, удерживающие движущееся тело на окружности, называется ц е н т р о б е ж н о й . Центробежная сила равна по величине центростремитель­ ной и направлена в сторону от оси вращения.

Термины «центростремительная» и «центробежная» отно­ сятся к действию этих сил при движении тела по окруж­ ности, а не к физической их природе. По своей природе — это силы, действующие при соприкосновении тел или на расстоянии. Непосредственной причиной того, что тело, движущееся по окружности, действует с центробежной силой на связи,*на удерживающие тела, является взаимо­ действие обоих тел, а не вращение само по себе. Например, потянув неподвижный шарик рукой, мы можем растянуть резиновые нити и подействовать на вал с той же величиной силы, что и центробежная сила.

§70. Равномерное движение тел по окружности при одновременном действии силы тяжести

Рассмотрим еще несколько примеров равномерного дви­ жения по окружности. Сначала обратимся к случаям, когда сила тяжести действует в направлении, перпендикулярном к плоскости вращения тела. Например, груз висит на тросе стрелы башенного крана, которая поворачивается (рис. 113, а). При неподвижной стреле трос висит верти­ кально. Когда стрела поворачивается, трос отклоняется. Найдем положение, которое занимает трос при постоянной угловой скорости вращения. Определим силы, действующие

176

Величина силы Fu = тан = т —. На рис. 113, б показаны все силы, действующие на груз. Величины векторов FH и Р

/Л

4ST t\

< г, ^

\ с

1 I

Рис. 113. Силы, действующие на тело, подвешенное к поворачиваю­ щейся стреле башенного крана:

а — схема подвески тела, б — схема действующих сил

изображаются на чертеже катетами прямоугольного тре­ угольника, поэтому

&Р г - mg rg

Скорость v можно выразить через угловую скорость со вращения тела (§ 51): v = m. Поэтому

177

нией на рис. 113, а, трос отклоняется от вертикали на мень­ ший угол а, чем при расположении груза на расстоянии г2. С увеличением угловой скорости вращения со отклонения также возрастают. Заметим, что масса тела не влияет на величину угла отклонения.

Пусть, например, стрела крана равномерно поворачи­ вается на угол 60° за 5 с. Груз висит на расстоянии 10 м от оси вращения. Найдем угол отклонения троса от верти­ кального направления. Угловая скорость со определяется

При относительно медленных вращениях центростреми­ тельные силы невелики и незначительно сказываются на

отклонении подвеса груза. При увеличении частоты враще­ ния центростремительная сила возрастает и отклонение подвеса груза возрастает.

На практике также встречаются случаи, когда сила тя­ жести действует в плоскости вращения тела. Например, в машине для испытаний образцов материалов на удар ко­ пер перемещается по окружности в вертикальной плоскости и в той же плоскости действует сила тяжести (рис. 114) или движение центра тяжести С детали, не симметричной относительно оси вращения, при ее обработке на токарном станке (рис. 115) и др.

Ограничимся изучением самого простого случая: тело массой т закреплено на стержне и вращается вокруг гори-' зонтальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис.

178

116, а). Представим, что мы повторяем опыт, рассмотренный в § 69 (см. рис. 112), но только центробежная машина имеет горизонтальный вал. Шарик закреплен жестко на стержне. Из всевозможных положений тела на окружности сначала рассмотрим случай, когда тело находится на вертикальной оси внизу — в точке Сх . Сила тяжести Р = mg всегда на­ правлена по вертикали вниз. Мы знаем, что при вращении и тело, и стержень деформируются. В результате деформа­ ций возникают силы упругости. Обозначим Рг силу упру­ гости, действующую на тело, находящееся в точке С\.

Рис. 116. Вращение тела, закрепленного на стержне:

а — схема опыта, б — силы, действующие на тело, в — силы, действующие на стержень

В соответствии со вторым законом Ньютонадля криволи­ нейного движения равнодействующая сил Р и Fx равна произведению массы т тела на ускорение а. Так как проис­ ходит равномерное вращение, касательное ускорение <зт отсутствует: а т = 0. Поэтому остается только нормальное (центростремительное) ускорение аи.

Из сказанного следует векторное равенство:

В точке Сх все силы действуют по одной прямой линии. Выберем за положительное направление направление силы тяжести: вниз по вертикали. О направлении вектора силы упругости Р\ мы ничего заранее сказать не можем. Пред­ положим, что он так же, как и вектор ан , направлен к оси вращения: вверх по вертикали. При указанных условиях векторное равенство (52) можно представить в алгебраиче­ ском виде:

179