Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

mK., = 2n_1arcsin q ,-j n, как следует из выражения (2.85), также

приближенно

рования потому, что они не связаны с допущениями о виде зако­ на распределения рассматриваемых случайных величин или век­ торов.

Как отмечалось, в ряде случаев вместо вероятностей Р*= = Р(Л,-) уже при проектировании приходится иметь дело с их

i=i

приближенно находится из соотношения

_1,2,..,,ЛГ

где все Р* находятся при одной и той же односторонней довери­ тельной вероятности у. При написании выражения (2. 90) учиты-

98

валось, что а~гы(1 — q2) | / //, где п — минимальное из чисел ис­

пытаний, по которым найдены оценки по формуле (2.89). Исследуем важный частный случай, когда рассматри­

вается случайный вектор uN= (ии и2, .. ., n.Y) с нормальной функцией распределения (1. 100), имеющий вектор средних цлг,

вектор средних квадратических ст.у и корреляционную матрицу

II Qijll •

Пусть вначале требуется вычислить вероятность Р],2..... n =

кой задачи вызывает определенные трудности и получено лишь для двумерного и трехмерного случаев, причем для вычисления Pi, 2 п Pi.2,з требуется применение достаточно сложных специ­ альных таблиц [63]. Задача упрощается, если все q,j одинаковы

мощью разложения плотности многомерного нормального рас­ пределения [40] или использования других методов, например, метода приведения матрицы ||д,-ф к диагональному виду, еще не привели при N>2 к получению аналитических соотношений, до­ статочно простых для применения на практике. Из выражений (2.86) и (2.87) следует, что для вычисления многомерных нор­ мальных интегралов вида (1. 100) может быть использовано со­ отношение

где //.,.=дг,./з,.;

да — коэффициент корреляции Щ и и-\

щ, Oi — среднее значение и среднее квадратическое откло­ нение иг, F(h) — интеграл Лапласа (1. 103).

Фунция Димерного нормального распределения с учетом вы­ ражения (2. 87) имеет вид (2. 91), где

= (-*; — М/Л-

Кроме того, из выражения (2.87) может быть найдена и веро­ ятность Р(6,<Нг<а,-, V /= 1 , N), если положить

(2.92)

численных значений многомерных нормальных интегралов [73]

при yV^8.

В графе 1 приведены точные значения Pi, 2, . л' = Р(«г>0, V i= l, N), заимствованные из работы [63], в графах 2 и 3—при­

ет тенденции к возрастанию при увеличении кратности многомер­ ного интеграла. К тому же выводу приводит сравнение прибли­ женных и точных расчетных данных при различных Л,- и q,-; Введение поправок и использование оценки Pi,2, •••, jy—Рп по­ зволяет при необходимости улучшить результат.

Приведенные соотношения намечают некоторые границы воз­ можного применения приближенных аналитических соотно­ шении.

Таблица 2. I

Сравнение данных расчета jV-мерных нормальных интегралов, полученных с помощью ЭВМ [63] и по приближенным аналитическим

соотношениям Л1=2,/1|= /ы = Л

100

помощью предлагаемых соотношений остаются недостаточно ис­ следованными и затруднены тем, что с увеличением N вычисле­ ние Pi, 2..... .V даже с привлечением самых быстродействующих ЭВМ представляет (особенно при q,-j— М) задачу значительной сложности. Вместе с тем сам факт вычисления с помощью этих соотношений многомерных нормальных интегралов с приемле­ мой для ряда практических задач точностью вызывает необхо­ димость не только первоначального рассмотрения, но и дальней­ ших более углубленных исследований в данном направлении.

101