Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

л'2 u 1/2 — действующее значение изгибающего момента п его допустимое

значение и т. д.

При этом случайные величины х,- и (/,■ не зависят от времени работы рас­ сматриваемой системы н распределены нормально со средними значениями .Vf

Требуется вычислить показатель надежности конструкции, представляемый в

т. е. нагрузка одна и та же, а величины г/,-, несущие способности: по отношению к нагрузке х, различны и независимы. Тогда ко­

102

Если дисперсия о2, одинакона V /^[1, А^], то

_ 1

^1+ (o;//a.v)2

Следовательно в соотношении (2.91) для вычисления искомой вероятности Р(ы,->0, v i — \,N) величина

Qi}— >-1 и Р (п;>О, V / = 1, N)— >-Рт , т. е. вероятность одновре­ менного выполнения условий w*>0 оказывается близкой к ми­ нимальной из вероятностей Р,-.

В рассмотренных выше примерах для успешного функцио­ нирования системы было необходимо, чтобы все компоненты век­

стема выйдет из строя. Однако это не всегда выполняется и осо­ бенно, если система входит в более сложную систему. Наиболее общее из рассматриваемых нами выражений для показателя на­ дежности является выражение,(2.44):

“Ь ■• • “Ь( — 1)

Используя приведенные соотношения, выпишем для общего слу­

103

Здесь

l<]

если

Pl4,) = P (a, < « ,< & ,) ,

где q,-j — коэффициенты корреляции между «» и iif,

qm— минимальное из значений qit входящих в выражения

Вычисление величин <7,-, </{,■,. . входящих в выражение (2.44), в ряде случаев сводится к определению вероятности непревышения случайной функцией или случайным полем некото­ рого уровня [см. соотношения (2. 12) — (2. 18)].

В настоящее время выполнен ряд фундаментальных исследо­ ваний [5, 46] задачи по определению вероятности

Исходными допущениями для задачи в работе [5, 46] являются непрерывность реализации и;(т) случайной функции и (г) и дважды дифференцируемость корреляционной функции р(Дт) при Дт— »-0 (в стационарном случае). Основное внимание уде­ ляется при этом случаю, когда н(т) — нормальная стационарная случайная функция. Типовые допущения и метод решения зада­ чи в принятой постановке рассмотрим, распространяя на неста­ ционарный случай решение задачи, данное в работе [94].

Пусть Д — весьма малый интервал времени. Вероятность Р(т, Д) выброса за время Д функции и(т) за линию и(т ) = 0 представим в виде

Р(Т, А)= Р (А п £ ) = Р ( Д ) - Р ( Л П В),

где А — событие, состоящее в невозникновении выброса в мо­

мент времени т; В — событие, состоящее в возникновении вы­ броса -в весьма малом интервале Д, следующем за моментом т. Последнее соотношение перепишем в виде

Р(т, д ) = | <a\u{T)\d [и (т)] —

о

00 со

— f ('?[«(*)> к(г + д)]г/[«(т)]£/[д(т-|-д)].

6 6

104

Здесь гр[д(т)] — плотность распределения и(т) в данный момент т; ф[ы(т), г/(т + А)]— плотность совместного распределения и(т) в моменты т п т+Д.

Допустим, что выбросы образуют нестационарный пуассонов­ ский поток, а и(т ) — непрерывна. Тогда согласно теореме рабо­ ты [87] параметр потока выбросов определяется как

Х(т)= lim Р(+ А)

д-о л

ИЛИ

l(j

и(т) в данный момент времени т и в момент времени т+А.

Сучетом известного правила дифференцирования интеграла из соотношения (2. 95) можно получить выражение для расчета

Л,(т), которое, к сожалению, оказывается достаточно сложным. Частный случай (2. 94) рассмотрен в труде [94] и относит­ ся к задаче, исследованной ранее [46]. В этой задаче предпола­

гается, что гДт)— непрерывная стационарная нормальная слу­ чайная функция, а корреляционная функция дважды дифферен­

105

цируема в нуле. Кроме того, считается, что поток выбросов яв­ ляется пуассоновским и стационарным. При этих предположе­ ниях из соотношения (2. 95) получено

?1Л)=12л) 2 expf - - ^- j .

В практических приложениях соотношения типа (2.97) в (2.95) (помимо сложности последнего) вследствие большого числа принятых допущений оказываются не всегда применимы­

задачи, позволяющую в ряде случаев получать приближенное аналитическое решение с меньшим числом ограничивающих до­ пущений.

Пусть и(т) нестационарная случайная функция с возможны­ ми разрывами (первого рода) в отдельные моменты времени.

Выберем сечения T,- = const (/=1, N) таким образом, чтобы к интервалах [т,-, т,-+|] случайная функция и(т) могла быть аппрок­ симирована функцией, заданной на монотонных реализациях [это и есть правило С^из соотношения (1. 124) в данном случае].

Тогда, принимая основное допущение о том, что вид функции и(т) позволяет осуществить такой выбор сечений, обозначим че­

ЮТ