Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

где

Л1 = (/о^>^1^1, Л2— {f2 ^i) 1

так как

р ( 1 ) ; = р ( л 1 ) Р ( л | л 1 ) - ! - р ( л 1) р ( л | л 1) = р ( л 1) р ( 1 Й , ) =

= Р ( Л ,)Р ( Л 2), Р - 1 - Р ( Л ,) Р ( Л о ) .

Пусть <i1>= а= const. Тогда в условиях рассмотренной выше мо­ дели

Р = I —[1 -А -ЧМ

где

С помощью соотношения (2. 65) находим нижнюю границу Р доверительного интервала для Р:

P ^ l - [ l - F ( / 7 , ) ] [ I - / 7 (А,)] (1 + V ai+ Д?)1

где

Ар= {а — ра)/з2; //-2 = (P-i — Р--) I 7'f-{-7$;

AT — квантиль нормального распределения, соответствующая од­ носторонней доверительной вероятности у.

Теперь из условия Р ^ Р Т легко установить интересную зави­

симость n=f(N, у, Рт, а). При этом можно убедиться, что функ­ ция « = /( • ) убывает с ростом величины а.

3. 1.3. Испытания с искусственным снижением несущей способности системы

Предыдущие схемы ресурсных испытаний основывались на увеличении нагрузки 12 (по отношению к рабочей нагрузке) при фиксируемой (штатной) конструктивной схеме системы. Однако в некоторых случаях технически повышение нагрузки недопусти­ мо (например, по технике безопасности) или невозможно. Тогда значения прочности могут быть найдены лишь при снижении

116

несущей способности системы. Последнее достигается изменени­ ем некоторой конструктивной характеристики у (толщина стен­

пытаний (г=1, /г) при рабочей (или несколько повышенной) нагрузке.

По данным этих испытаний (однократных или циклических),, проводимых до выхода из строя системы, находятся значения t\ и оценки соответствующих параметров (средних, дисперсий

ит. д.).

2.По приведенным выше соотношениям находятся оценки

Р,-, верхние Р,- и нижние Pi границы доверительного интервала для вероятности неразрушения Р, соответствующие уи у2, . --,Ук- 3. Искомые значения Р, Р и Р, позволяющие осуществить

оценку и контроль за выполнением требований по надежности, определяются путем прогнозирования для у = у а по предысто­

рии Pf, Р,-, Р,- ((=1, k).

Естественно при этом найти ошибку прогноза и при ее исполь­ зовании дать гарантированные оценки величин Р, Р и Р.

3.2. НАТУРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И ЗАДАЧИ УЧЕТА ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Выше отмечалось, что натурные испытания, как правило, непозволяют установить несущую способность t\ системы по отно­ шению к воздействующим нагрузкам t2. В связи с этим прихо­ дится ограничиваться преимущественно качественной информа­ цией в виде числа проведенных испытаний п и числа зафиксиро­ ванных при этом отказов d. Получаемая из этих испытаний «ко­ личественная» информация о значениях действующих нагрузок может быть учтена лишь в рамках описанных моделей, если име­ ются соответствующие сведения относительно величины /(. Воз­ никает задача определения и контроля уровня надежности по результатам натурных испытаний и задача учета всей получае­ мой информации (расчетные оценки, данные ресурсных испыта­ ний, данные по значениям t2 из натурных испытаний и др.).

3.2. 1. Схема испытаний Бернулли

Одной из наиболее общих схем, основанных на использованиикачественной информации (л, d), является схема испытаний Бернулли, описанная в п. 1.1.

Схема Бернулли и вытекающие из нее соотношения не свя­ заны допущениями о виде закона распределения какой-либо слу-

ПТ

'чайной величины. Для вывода выписанных выражений доста­ точно использовать лишь формулы сложения (1. 14) н умноже­ ния (1.26) вероятностей. Общий характер биномиальной модели испытаний, ее простота и наглядность давно уже привлекали к себе внимание при решении прикладных задач. И даже в тех случаях, когда реальная ситуация не позволяла непосредствен­ но воспользоваться приведенными соотношениями, оказывалось целесообразным формулировать окончательное решение в «бино­ миальных» терминах. Так, в работе [53] при рассмотрении схемы с переменной вероятностью в испытаниях использовалось поня­ тие «эквивалентное число отказов», и задача сводилась к бино­ миальной.

В связи с изложенным в настоящем параграфе остановимся на исследовании схемы Бернулли под углом зрения рассматри­ ваемых задач. Остановимся также па случае, когда вследствие проводимых доработок системы величина Р не является посто­ янной.

Задача об учете предварительной информации в схеме биномиальных испытаний

Задачи подобного рода рассматривались в ряде работ [56, 82] Наиболее традиционной постановкой задачи является следую­ щая [56].

Дано, что п0 испытаний закончились /и0 успехами. Какова вероятность Р (t=x) того, что следующие а испытаний закончат­ ся v отказами? Для решения задачи обычно используется специальный прием — рандомизация параметра Р, т. е. приписы­ вание некоторого распределения / (Р) в действительности неиз­ менному значению Р. При этом испытания с постоянной вероят­ ностью Р заменяются испытанием с постоянной функцией распре­ деления /ДР), а Р рассматривается как случайная величина, принимающая в п испытаниях различные значения. Тогда

( П ) \ _ P ) ' JJ-"o-'n0/ ( p ) rfp

Такие же рассуждения положены в основу задачи по оты­ сканию уточненных параметров распределения (средних, диспер­ сий) при известных априорных данных, рассмотренной в рабо­ те [92].

Однако полученные таким образом результаты не позволяют непосредственно записать выражение для уточнения значений функции распределения и границ доверительного интервала для Р. В то же время функция распределения Bi(n, Р, х) и значения

Р, Р достаточно широко используются в прикладных задачах.

118

С этой целью наряду с имеющимися решениями может быть ис­ пользован излагаемый ниже подход.

Усеченное биномиальное распределение и его приложения

Пусть далее «сжатием» управляет некоторая случайная вели­ чина t такая, что событие {z=/} имеет место с вероятностью

Здесь рассматриваются невосстанавлнваемые системы, на (3.8) удобно истолковывать на следующем примере. В схеме Бернулли в процессе каждого испытания с вероятностью Pi воз­ можно осуществление технического обслуживания системы. При обслуживании системы в случае возникновения отказа он устра­ няется и система заканчивает испытание успешным исходом. Пусть 2 — число обслуживаемых систем. Тогда

Р (г = У)=( ” j Р{(1 — Р1)'!“ 7= 6 (я, qx, у); <7 1 — Plt

а число возможных отказов в я испытаниях /е[0, я—/]. В ча­

стемы обслуживаются и, следовательно, согласно допущению все возникающие отказы устраняются) получаем Р (2 = я ) = 1;

119

На основе выражения (3. 8) могут быть построены также не­ которые модели испытании с доработками.

С помощью выражения (3. 8) возможно решение задач двух основных типов.

1.Величина Pi известна, требуется найти усеченную функ­ цию распределения.

2.Величины п, х, Pi, уь Y2 известны, требуется найти уточ­ ненные значения корней уравнений Клоппера — Пирсона:

Пример 3. 1. Вычисление показателя надежности системы со структурной избыточностью.

Система состоит из п= 5 одинаковых элементов и выходит из строя при

•отказе числа л\>3 из них. Вероятность успешного функционирования одного элемента Р = 0,57. Требуется найти показатель надежности системы (вероят­ ность Р,- ее успешного функционирования): а) если никакой информации от­ носительно возможного числа дефектных элементов нет (и, следовательно, в соответствии со схемой Бернулли принимается, что /ё[0, л]); б) если извест­ но. что в системе предусмотрена такая встроенная контролирующая аппара­ тура, что за время работы каждый из элементов системы контролируется (об­ служивается) с вероятностью Pi = 0,80, причем отказы контролируемого эле­ мента устраняются.

Решение. Случай «а». Очевидно, что при /€Е[0, л]величина Рt-= Вi (5; 0,5(7;

Таким образом, учет информации о системе контроля в виде значения Pi может существенно изменять числовые величины получаемых результатов.

Пример 3. 2. Построение оперативной характеристики контроля системы с учетом информации.

Пусть качество системы контролируется по качественному признаку в со­ ответствии со следующей процедурой. Испытывается выборка объемом л; при испытаниях изделия разрушаются. Качество продукции считается прием­ лемым, если число дефектных изделий в выборке не превышает некоторое установленное «приемочное число» х„р. Требуется найти вероятность я(Р) приемки продукции, т. е. оперативную характеристику контроля (см. '2. 1), если вероятность отсутствия дефекта у одного изделия Р, а при наличии дефекта изделие считается недоброкачественным, негодным для потребителя.

Решение. В случае, когда информация относительно t отсутствует, т. е. 7€=[0, л], оперативная характеристика, равная вероятности того, что в выбор­ ке л= 8 возможное число дефектных изделий /< х „,,, вычисляется с помощью уравнения я(Р)=В1(л, Р, хпр).

120