Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
ванных изделий, принимается, как только очередное (/+1) извыбираемых изделий оказывается бездефектным (приемлемым)г
Очевидно, что в традиционной схеме с независимыми элемен тами в партии процедура резко отличается от изложенной. В со ответствии с традиционной схемой выборочного контроля (см. п. 1.2) объем выборки от партии оказывается достаточно боль
шим, а в ряде случаев (особенно при малых партиях) |
может |
достигать неприемлемых значений. При комплектации |
партии, |
по указанному принципу достаточно ограничиться (как |
отмеча |
лось) минимальным размером выборки: в размере одного эле мента от партии. В традиционной схеме при наличии дефектных изделий в выборке остаток партии (товарная партия) бракует ся, а в число бракованных возможно попадание годных изделий. Здесь же, как следует из изложенной процедуры, все годные эле
менты принимаются и не могут быть |
забракованы. Наконец,, |
в рассмотренной процедуре, в отличие |
от традиционной, явно |
просматривается связь между свойствами однородности продук ции и объемом комплектуемой партии. С уменьшением однород ности число изделий, удовлетворяющих условию AiCzA2y /ВсЛз; . . .; /ВсдЛд/, а следовательно, и объем партии М должны уменьшаться.
Однако предлагаемая модель носит весьма частный характер- и требует перед ее применением исследования свойств изготав ливаемых изделий, а также изучения однородности характери стик, описывающих эти свойства. Модель эффективна только npip высокой однородности свойств выпускаемой продукции.
Пример 3. 3. Комплектация партии и контроль качества тонких стержней. Пусть, например, изделие представляет собой тонкий стержень длиной /о.
Изготавливаемая продукция принимается партиями: после изготовления пар тии М стержней из нее извлекается выборка п, по данным испытания кото
рой судят о возможности приемки |
оставшихся Л1Т= Л1 — п стержней |
(Мт— |
|
объем товарной партии). Стержни |
изготовляются |
путем отделения |
частей |
(изделий) длиной /0 каждая от длинного стержня |
(его длина /,^ М /0). |
Испы |
|
тание выборки состоит в том, что на разрывной машине путем растяжения п стержней до их разрушения находится предел прочности у материала стержня при растяжении. Качество стержней в генеральной их совокупности считаетсяприемлемым при у > а (где а — некоторое постоянное значение, оговоренное в технической документации), если условие у > а выполняется с вероятностью
Р=Р( у >а), не меньшей Рт=0,999.
При |
Р <_РТ= |
0,994 |
качество стержней считается неприемлемым. В доку |
ментации |
заданы |
также |
значения риска поставщика а и риска заказчика |i |
(а = 0.05; |
(5 = 0.10). |
|
|
Спланируем испытания и процедуру приемки: а) традиционным методом; б) методом, изложенным выше.
А. Традиционная процедура предполагает, что объем М партии уже вы бран (задан) и не содержит рекомендации по способу выбора .И.
Пусть, например, Л-/= 20, а у следует нормальному закону распределения. Тогда, используя метод однократной выборки, согласно соотношениям (1. 176) с помощью табл. П. 1 находим необходимый объем испытаний
|
|
1 |
|
|
1' |
А2 \ / |
А1 —д г " 1 - 3 |
|
||
|
„-1 |
ЛГ |
; |
n,i = |
1 |
1 ■ |
"р |
1 |
Л= — Ло |
|
|
’ T |
W |
( |
|
||||||
где |
|
|
,= |
1,615; |
|
Л1-3 = |
А0 до = |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
'0,999 = |
3,090; |
|
Лр = *0.99-1 = |
|
||||
Л 1 - « ЛР + |
Л 1 - р Лр |
1,6+5-2,512 + |
1,282-3,090 |
2,075 |
||||||
А|ф = ' |
Л1—а+ Л1—р |
|
|
1,645 + |
= |
|||||
|
|
|
1,282 |
|
||||||
|
710 = |
|
2 , 0 7 5 ( |
1,645 + |
1,282 |
= 79; |
|
|||
|
|
2 |
|
3,090 — 2,512 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
п = 20-1 + |
I |
|
16. |
|
|
||
|
|
|
|
79-1 |
|
|
||||
Таким образом, согласно процедуре однократном выборки для требований |
||||||||||
«=0,05; (5=0,10; Рт = 0,999; Рт=0,994 |
из партии М=20 необходимо извлечь |
|||||||||
выборку /г = 16 |
изделий, и |
с помощью |
разрывной |
машины найти значения у |
||||||
в выборке у 1, |
I/г, - --, |
Ул- |
Считая уЛ, |
у2, . .., |
у„ независимыми, по |
формулам |
||||
(1. 127) и (1. 129) находят оценки ц и ст среднего значения р и среднегсм<вадратического отклонения а случайной величины у. Если величина Л = (а — р)/о$=-
> йпг= 2,075, товарная партия NT= 20— 16= 4 принимается; при к < <2,075 — бракуется. Разумеется, другие рассмотренные выше также тради ционные методы контроля (последовательный анализ, односторонние проце
дуры и т. |
л.) могут оказаться значительно более эффективными и |
потребо |
|
вать меньшего числа испытании, если величина h уже |
при малых объемах п |
||
в процессе |
проведения испытаний будет существенно |
превышать |
значение |
/г„,, = 2,075. |
|
|
|
Б. Рассмотрим теперь изложенную в настоящем параграфе процедуру контроля. Она требует дополнительной информации относительно свойств стержня L. Пусть из анализа особенностей материала стержня, технологии его изготовления и проведенных
исследований установлено, что реализации //,-(/) |
при |
/ е [ 0, |
L\ |
|||
случайной функции у(1) |
(прочность стержня в функции длины) |
|||||
представляют собой множество эквидистантных |
(непересекаю- |
|||||
щихся) кривых так, что |
выполняется |
соотношение |
у(1)=А-т- |
|||
+ Вя|;(/), где А и В — случайные величины с произвольным |
за |
|||||
коном распределения; я|>(/) — неслучайная функция. |
|
|
||||
|
Тогда согласно лемме 1 вероятность того, что все М стержней |
|||||
в партии будут годными, равна Рмг= Р {А + Вфт >о) = |
1 —Fv (a), |
|||||
где |
ф,„ — наименьшее |
значение функции ф(/) V/e[O', |
L]; |
|||
|
Fu(a) — функция |
распределения |
случайной |
величины |
||
|
Uг=А + Вфт . |
|
|
|
|
|
Объем партии М в условиях примера целесообразно выби рать из условия M = E[L/l0], где £(•) — целая часть выражения в скобках. При этом вероятность Рм того, что все стержни в партии М будут удовлетворять условию у>а, равна вероятности
127
1 — Fv (a) |
того, |
что |
это условие выполняется |
в |
«слабейшем» |
||||||
стержне, на длине /0 |
которого функция ф (/)У /е[О , |
L] достигает |
|||||||||
наименьшего значения. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть функция |
ф(/) |
монотонно |
убывает |
по |
/; кроме |
того, |
известно, что |
||||
/ .= 15. |
/0= 1 |
см, |
а |
погрешностью |
прибора |
для |
измерения |
у |
можно прене |
||
бречь. |
Тогда |
из |
партии |
AI= L//0= 15 стержней |
выбирается |
одни, последний, |
|||||
по порядку изготовления (т. е. здесь выборка /г=1). Если при испытании: стержня окажется, что его предел прочности при растяжении ун,>а, то то варная партия NT —15— 1 = 14 стержней принимается. Если у ^ < а , то испы тывается следующий (14-н) стержень. При i/n>a партия NT= 13 принимает ся; при у ц < а испытывается 13-й стержень и т. д. Таким образом, объем ис пытаний здесь (при условии, что имеется упомянутая выше информация) может оказаться минимальным: одно изделие от партии.
Комплектация партии по принципу максимальной однород ности свойств изделий и, следовательно, по принципу обеспече
ния максимальной |
корреляции |
между yi5, у и, ... (в условиях |
|
примера |
= |
= - • •= |
К дает значительные преимуще |
ства по сравнению со случаем, рассматриваемым в традицион ных методах контроля, когда величины у\, г/2, . .., у\ъ полагаются независимыми.
Рассмотрим теперь другую возможную модель комплекта ции партии изделий, каждое из которых состоит из N последова тельно соединенных независимых элементов. Изделие оказывает ся дефектным, если хотя бы один из N элементов дефектный. Элементы поставляются партиями объема я,-, в числе которых di дефектны. Элементы в партиях /г,- независимы и неотличимы друг от друга. Комплектация изделия осуществляется путем из
влечения элементов по одному из |
каждой |
партии /г,- и сборки |
|||||||
изделия. |
Операция комплектации |
завершается |
после |
сборки |
|||||
п |
min |
я,- |
изделий. |
|
|
|
|
|
|
|
1<I <i\ |
функцию |
распределения случайной |
величины |
z — |
||||
|
Найдем |
||||||||
числа дефектных изделий, попадающих при данных я,-, |
в уком |
||||||||
плектованную партию. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 1. Функция распределения случайной величины z да |
||||||||
ется выражением |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
'N |
|
|
|
F (х )= Р (г< ; х) — |
|
Г' П П ' tlj—V+ \) |
|||||||
|
|
|
|
|
v - 1 |
/=1 |
|
(3. 15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где «+ » — символ, означающий, что при щ—т+1> г/г |
и |
/г>я |
|||||||
величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п—Ь-Ь } N |
dj ■' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п П( |
0;— И— fi И- /’- |
|
|
|||
|
|
|
я/ — v + 1 |
|
|
||||
Доказательство. Покажем вначале, что
128
|
N |
) 2 |
))t—‘УП П f > |
Р * = Р ( * = А) |
|
У=0 |
V = 0 /-1 |
Очевидно, что этого необходимо и достаточно для доказатель- д*
ства теоремы, так как Р ( г - < х )= V р (z = k).
А=0
Обозначим через А событие, состоящее в выполнении условия z= k , и через А, событие, состоящее в том, что /-ое изделие в по следовательности комплектации партии объема я окажется без дефектным. Тогда в соответствии с правилами сложения и умно жения вероятностей получаем
Р ( г = А ) = Р(Л) = Р (Л 1)Р(Л2|Л ,) .. .
|
л_А_1 |
' |
|
/ _ |
П -А |
ft |
П |
А ’ |
) Р ( ^л-ft+l |
||
|
1-1 |
|
|
|
i -1 |
. . .Р |
'tl—k |
|
п |
л—1 |
|
п л, |
П |
А |
|||
|
/ =1 |
|
|
l=n—ft+1 |
|
где О— сумма ^ ” j — 1 членов, учитывающих возможные осталь
ные способы размещения |
в произведениях из я сомножителей |
n — k вероятностей типа |
Р{А{\ •) и k вероятностей типа |
Р(А| ■)■
Безусловные вероятности событий Aj равны между собой:
N
Р (Л 1) = Р ( Л 8)= . . .= Р ( Л „ } = П (1 - -J-).
Вследствие этого условные вероятности удовлетворяют соот ношению
|
|
|
N |
Р(Л1|Л2) = |
Р (Л г |Л3) = ...^ Р ( Л ,.| Л |1) = |
П ( 1 - ^ т ) . |
|
где /, р^[1, |
i |_i,. |
|
i =1 |
|
|
||
Кроме того, |
|
|
|
P ( ^ i| А, П А 3 ) = Р(А2\А 3 П |
П А х)= |
||
|
n |
d; |
|
|
=П( |
|
|
|
n , - 2 j ’ |
|
|
где |
i-i |
|
|
i, Iх. '/^ [ 1 , |
я]; 1ф\>.ф^. |
|
|
|
|
||
5 |
312 |
129 |