Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 227

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Н а к о н е ц

 

 

 

лт

di

 

 

Р А

 

п М - П ( > -

V

 

 

П ;

—

 

 

/= 1

/ =1

 

 

 

 

 

 

 

 

при

/

,

п ф 1

 

 

 

И

 

 

 

л-ft—1

л—ft—1

п—k

 

 

 

Р^П A i ) = P ( A 1) P i A 2\A 1) . . . P [ A n- k

П

A' )

П Р(»)>

 

 

 

 

 

1-1

v=0

где

 

ДГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

л— к

 

 

 

 

Обозначим

 

в х=

 

 

 

 

 

П Ah

 

 

 

 

тогда

 

 

i =1

 

 

 

 

 

л—/•__!

л —А’—1

/V

 

 

 

л—к

 

 

di

 

 

 

 

 

 

 

(пЧ)=р.«.- П р<..- П П(

n-. — v

 

и - 1 )

 

v=o

,_0

;=1

 

 

 

где дополнительное обозначение Р(В)) = Р(„-;о подчеркивает тот факт, что P(Bi), как видно из приведенных соотношений, не за­ висит от индексов при буквах А, но зависит от нх числа в пересе­ чении событий. Последнее обстоятельство позволяет представить выражение для Р {z=k) в виде

 

 

', я — ft \

/ *

_

Р (*= А )= (

" )Р

П

АЛ п (П

А

или

 

 

 

 

 

 

Р(г=Л ) =

(

" ] Р ( В 1)Р(В 2|В 1),

где

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

В2=

 

П

 

п

А/,

 

 

А = П

 

 

/ =*л—й + 1

/ =1

 

 

и записать общее выражение

 

 

 

 

/ м

\

=

П Р(.)-

 

Р

П

А )

 

Используя известные соотношения

 

 

 

Р(В1)Р (В2| Bt)= P (В,) [1 -

Р (Ва | BJ]

и

 

k _

 

/г

 

 

 

П A — U А>

 

 

 

i-i

 

/-г

 

 

130

получаем

 

 

В2 = и А {

 

 

 

и

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

Р (г =А) = ^ ) | р ( Д 1) - Р ( 5 1)Р

 

и л <- В,

или

 

 

 

 

 

 

/~1

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (2Г=Л)= ( » ) | Р(„_Л) —р и (А, п В,)

 

 

 

 

 

/=1

 

 

 

k

j n —k + j

 

 

 

 

 

P ( l i - f t ) — р

и

n Aj

U ( «

P ( n - * ) — P ^ U A 0i

 

uj - 1\ /=i

 

I

U

 

 

 

где

A0i= A , f|

Вг=

n—k + l

 

П

 

Ar

 

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(* - * > - ( . " ) К * > - 2 рГ п Г Л )'

+

2 ?

n * Л, П (Aj

П

A » ) -

 

 

J<v-

i -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)*-1

 

п Ч )

П ( п

а \

 

 

 

 

1-1

/

 

\/=1

/

 

 

 

 

P(n“ft4-1)4-...+(

или

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p , = p ( 2 = * ) = ( “ ) 2 ( ‘ )

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n—k + j

N

 

 

 

Cli

\+

P ( n - k + j ) =

f l f l ( 1

 

 

in — v + I

 

 

 

M=1

1=1

 

 

 

 

 

что и доказывает теорему.

 

 

 

 

 

 

Выражение (3. 15)

для

функции

распределения случайной

величины 2 может быть использовано при построении плана кон­ троля надежности последовательных систем.

Действительно, рассматривая изделие как один обобщенный элемент, можно задать такое приемочное (допустимое) число *пр, что число дефектных изделий d в партии объема п не дол­

жно

превышать

хпр. Тогда

вероятность

P (z> x np) =

= 1

Р (z^A'np) =

р есть ошибка контроля, вследствие которой

 

5*

 

 

131

 

 

 

 

в принятую партию попадает число дефектных изделий, большее чем допустимое. Следовательно, из соотношения

 

 

 

n—k+j

Лг

 

 

А'= О I у= 0

к ! \

кj )<-'V п П(‘- ^

V + 1

 

 

 

- 1 / - 1

(3.

16)

 

 

 

 

 

при известных

и d; можно, задаваясь р и значением Л'пр, найти

такой объем партии изделий

m

i n при котором значе-

 

 

 

I</<лг

 

 

ние ошибки контроля р и число дефектных изделий в партии не превышают заданных значений. Знак неравенства в выражении (3. 16) обусловлен тем, что .гпр и п выбираются целыми и в свя­

зи с этим используются гарантированные

(уточненные)

значения

п. Очевидно, что п не может превысить

минимальное

из чисел

и;, так как при /л = m i n ; партия элементов с минимальным

1<;<лг объемом полностью исчерпывается (все ее элементы извлечены

и использованы для комплектации п изделий), а «собрать» последующие изделия в полном элементном составе оказывается невозможным. В связи с этим решение задачи по определению п по заданным п;, й;, р, существует не всегда и ограничивается

значениями

п

min (/;.,•).

 

 

 

 

 

 

Соотношение

lo'ov

 

 

 

 

 

 

(3. 16) позволяет также при известных /г,-, d; и

заданных п и л,-пр найти,

какова ошибка контроля р. В этом слу­

чае в выражении (3. 16)

используется

только знак

равенства.

Наконец, при заданных п, р и известных /г,-, d; можно

найти

приемочное число хпр.

 

 

 

 

 

 

С целью облегчения расчетов удобно использовать прибли­

жение

 

 

 

 

о

 

 

 

V

V

С ) ( Я < - " ; п п

dj

 

 

П; — V + 1

 

 

Г ? I j-0

 

 

 

 

 

 

 

Лг

 

 

 

 

ft = 0

 

 

 

1 = 1

 

 

 

с помошыо которого вместо выражения (3.

16) можно

записать

 

 

Р = 1— Bi (а,

Р,

лгпр).

 

 

(3.17)

Это приближение выполняется с достаточной для

практиче­

ских целей точностью при больших п и Р.

 

 

 

Пусть, например, комплектуется партия п— 12

изделий, каждое

из кото­

рых состоит из N независимых элементов,

поставляемых партиями

объемом

я,- единиц. В каждой партии щ имеется Щ

дефектных элементов.

Известно,

132

N

что величина Р = П [1 — (rf,-/n,-)] = 0,85. Число дефектных изделий п пар-

/-1

тип по условиям контроля не должно превышать число хПр=2. Требуется най­ ти, какова вероятность того, что в скомплектованной партии число дефектных изделий окажется большим, чем Апр (т. е. z > 2). Используя соотношение

(3. 17), имеем

•''up ь n-k+j N

 

п

по

к = 0 ] - 0

v = l

| = 1

~ 1 — В1 (/г, Р, Л-„Р),

откуда с помощью таблиц [105] находим В1(12; 0,85; 2) =0,73; следовательно, (3«0.27.

Пусть теперь заданы [3 = 0,27, Р = 0,85 и приемочное число а'пр = 0. Из

соотношения (3. 17) найдем соответствующий объем партии

/г « In (1 —■Р)/1п Р = 1п 0,73/1п 0,85 « 3.

Общая закономерность в данном случае состоит в том, что с уменьшени­ ем допустимого числа дефектных изделий объем п партии при данных |3 и

Р уменьшается.

контроля (3 = 0,10, приемоч­

Пусть, наконец, заданы: допустимая ошибка

ное число А'Пр=0 и объем партии изделий я = 9 .

Определим, какому требова­

нию должна удовлетворять продукция, поступающая для комплектации пар­ тии. С этой целью, используя выражение (3. 17), находим, что должно вы­

полняться условие В1 (9; Р; 0)>0,90 или PS-0,988.

Легко убедиться, что доказанная теорема имеет своим след­ ствием такое утверждение: функция распределения случайной величины t в схеме Бернулли (/ — возможное число отказов в п испытаниях) при снятии допущения о независимости испыта­ ний имеет вид

где At — событие, заключающее в успешном исходное одного ис­ пытания. Согласно уравнению (2. 86)

Р ( Т Ч - ) =

Ря_*+' +

( Р - Р п-*+;) ^ у ,

где

 

 

 

 

 

 

K N ~ — arcsin р;

Q=

(P13 — Р2)/[Р<7);

 

Jt

 

 

 

 

 

 

Рр — вероятность успешного

исхода

в

двух

испытаниях;

q = 1— Р.

(как и обычно в схеме Бернулли) не-

При этом события Ai

различимы Р (Л ,)= Р V ie [l, n],

a

Pi2 и

Р

,n—k+j

\

f|

А Л — вероят­

ность успешного исхода в двух любых и в любых п— k + j нспы-

133

таннях. В случае д= 0 (испытания независимы) получим клас­ сическое выражение Р ( t ^ x ) = B i (п, Р, х). При q= 1 получаем;

Р ( /= 0 ) = Р ; P { t = n ) = q \ P ( ^ x ) = P v x e [ 0 , п— 1].

3.4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ НАДЕЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим систему, состоящую из N последовательно сое­ диненных элементов. Исходы их испытаний независимы, а сами элементы могут испытываться отдельно от системы. Пусть, г-н элемент был испытан /ц раз и в числе di случаев зарегистри­ рованы его отказы. Совокупность N пар (/г,-, di) чисел образуют

вектор

испытаний

л = (/гь

гг2.......

nN) и

вектор

отказов d—

= {du

di, .. ., dN).

Задача

состоит

в том,

чтобы

по исходным:

данным гг, d и известным односторонним^доверительным вероят­ ностям yi и у2 определить границы Р и Р доверительного интер-

_

N~

вала [Р, Р] для показателя

Р = [ | Р,- надежности системы. По-

 

г=1

следнпй представляет собой функцию от биномиальных пара­ метров Р,-, так как Р,- — вероятность успешного исхода в одном испытании г'-го элемента предполагается постоянной в каждом из iii независимых испытаний.

Согласно выводам работы [3] искомые значения Р и Р могут

быть найдены как корни уравнений

 

 

PN= SUpРдт= 1 —Yi и PN=

inf Рдт = у

(3. 18).

N

 

 

 

 

N

 

П Р,-=Р

 

 

 

 

П Р,-Р

 

1=1

 

 

 

 

г =i

 

Здесь обозначено

 

 

 

 

 

 

 

 

2

П

 

ki)>

(3. 19).

N

 

>!Х /=1

 

 

 

 

П! У

 

 

П(

1-

 

 

i =1

 

> Р

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P'n = 2 - . . .V

П 6 [nh Рг, /г,);

 

кг

N

Ад. г = !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=п1('-ггИ

 

 

b{nh Р,-,

k;) = С "

 

 

 

I «/ \ _

/г1!

\ /г;

 

 

 

.

Qi= 1—Pi,

 

\ /гг / («г — /гг)! ki!

 

Ш

Смотрите также файлы