Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

N

Р = по -")и

— состоятельная оценка для Р, полученная по

.V

= УР(п —х, я - + 1 ) = У - -----------------------Рл- у .

(3.20)

7\ (п — к + 1, /е + 1)

Здесь Ур(л— х, дг-f-^ — Ур/Ух—неполная бета-функция с

пара­

метрами п —х , л'-j-1

и Р;

= f УП~х+\1 - y f d y ,

f i f - x+\ \ - y ) x dij.

о

о

В соотношении (3.20) функция Bi(n, Р,

х) определена лишь

для целых .г в то время как функция /р(-)

может быть вычис­

лена для любых х ^О .

Покажем, что функция /р(/г— х, х+ 1) = J P(np,

nq+ 1), где

®i(l/)>%(!/).

V l / E (0, Р) и

?i(y)dy=1;

^ { y ) d y = \ .

6

о

Тогда

1

р

j’ ?i{УШУ) d y >

[ сРз(^)Ф(^) dy-

о

р

i>

легко убедиться в его справедливости, так как левая часть

f ['PH'/) — <?2(y)]’s?(y)dy = ,b (Р)

'ъЛУ)йу

= ф(Р)

V-i{y)dy>-

р

где согласно теореме о среднем

Р е (О, Р), P je (P ,

1), (0, Pi) ft'

(Р, 1) = 0 ,

а следовательно, P < P i и я|з(Р) > i|j(Pi),

что и дока­

зывает теорему.

Если при тех же исходных условиях \р(у)

является возраста­

ющей функцией у, то аналогично доказывается, что

р

1

f t?iiy)^{y)dy< J ЫУШ У )аУ-

6

о

дЧ

~

Щ

> 0

или

•^р

^

2±

7р

^

?!

•

Действительно,

у '

*

"у *

1

- ~ e - = j'tPi {y)'b(y)dy\

^ cpa(i/) ^

где

п (,Л

Упр

\ ^ —-У)пч .

„/.,ч

Упр

\ l — y)nq

c?i(y) = -p— д------------- .

ЪЛУ)=—---- 1--------------г

,•

пр —1

nq

f Упр

! (1 — у)"4 dy

|

у к

(1 — 1/)

dy

р

1

V i/G (0 , P)

\<9z{y)dy=\\

6

6

*i

v i / e ( 0 ,

l),

торое будем записывать так: /р (•) f q.

Поскольку функция Jр(-)

определена для целых и нецелых

п , то аналогично устанавливается, что /р (-)|п .

Кроме того,

^р(-)

р п р — г

_

Р )Л q

v P e ( 0 , i).

• > о ,

д Р

п р — \

nq

У

(I — г/)

d y

Таким образом, можно записать

Ур(яР, n q d \ - \ ) \ q \ P \ x \ t i ,

V<7e[0,

1[;

PG[0,

1];

х > 0 ,

0.

(3.21)

П р им еч ан ие.

З а м е т и м ,

что обы ч н о

и сп о л ь зу ет ся

сл ед у ю щ и й

в а р и а н т т е о ­

рем ы

о ср ед н ем :

пусть

ф ун кц и и

{ ( х )

и

g ( x ) огран и ч ен ы

на [а,

Ь ]

и

н еп р е ­

ры вны

на

(a,

b ) ,

a

g (.v )

не и м еет

п ул ен

в и н т ер в а л е ( а ,

Ь ) .

Т о г д а

ь

/

(-О g ( х )

ь

(.v)d x ,

j

d x =

/ (? ) J g

а

а

г д е | е ( а ,

Ь ) .

П о к а ж е м , что

эт о

со о т н о ш ен и е

со х р а н я е т с я

при с л е д у ю щ и х

(и с п о л ь зу е ­

м ы х вы ш е) у сл ов и я х :

I)

ф ун к ц и я g ( x )

о гр ан и ч ен а на [а, Ь], н еп р ер ы вн а на (а, Ь)

и не и м ее

н ул ей

в это м

и н т ер в а л е

[это у с л о в и е то

ж е , что

и вы ш е

д л я g(x)];

2 )

ф ун к ц и я

f ( x )

н еп р ер ы вн а на

(а ,

Ь ) { т р е б о в а н и е

к

огр ан и ч ен н ости f ( x )

н а [а, 6] с н и м а е т с я };

3)

п р о и зв е д е н и е

<p(.v) = g ( x ) f ( x )

—

и н т егр и р у ем о

на [а,

Ь\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

О бозначим

’ ( х ) =

J 9 ( 0

d t

=

j

g

(0 /

(0 d t ;

F (л-) =

jg

(0 dt\

[ a ,

6 ].

Т о г д а

со гл а сн о и зв ест н о й

т ео р ем е

из

и н тегр ал ь н ого

и сч ислен и я

Ф ( х )

и

F ( x ) —

н епр ер ы вн ы е

ф ун кц и и

на

[а,

Ь].

П ри

это м

F ' ( х )

= g ( x ) ^ О,

V

ш

( а ,

Ь ) (по

у сл о в и ю I ) . И зл о ж е н н о е п о зв о л я ет и сп о л ь зо в а ть т е о р е м у К ош и ,

с п ом ощ ь ю

к отор ой

н а х о д и м

ь

(0 У(0 dt

I' /

а

Ф ( Ь ) - Ф ( а ) _

/ ( 6 Ж £ )

/(£).

_

F { b ) — F ( a )

g ( Z )

f g { t ) d t

а

г д е | е (

а ,

Ь ) ,

что

и

д о к а зы в а е т

у т в е р ж д е н и е .

Теорема 3. Пусть PiP2= P e [ 0 , 1]. Тогда

m

b(n, Pi,

k)Jpa(n —x, x — k-\- 1),

(3.22)

J p{n—x, лг-f ! ) > ^

ft-0

где [.v] — целая часть х,

а знак

равенства достигается при целых

х, а также в следующих случаях:

Р1 = 1;

Р2= Р ;

Р1 = Р3= Р = 1 ;

(3. 23)

И1

Р,

k) = J р {п — \х\,

[д-]+ 1)

Jp(n —x, х-\- 1)>

ft~0

и согласно соотношениям

(3. 21)

удовлетворяется.

В связи

с изложенным

проведем доказательство теоремы

для случая Р е (О, Р t < 1). Перепишем выражение

(3.22) в виде

J1(л — х, х + 1) ,^ y n- ' - l ( l - y ) x d y >

р

(И

dy

> I

Ь(и, Рх, k)

о

*=о

J\ (п — х , х — k + 1)

где q ~ - ? -■ <

1,

так ка,к у <

Р < Р1} 1 — у >

q±. Согласно со-

1—У

отношениям (3.20) и (3.21) получаем

X(y) = Jp

[х — [х], И + 1 ) < ^ р 1И —W, М + 1 ) =

=-/р (о, W + i ) = v m h , р, k) = \,

*=о

■что и доказывает теорему.

Следствие. Для

целых значений х

и PjP2=

Ре[0, 1]

имеет

место тождество

Jpln —x,

1)= ^ Ь { п ,

Pj, k) ^

b{n — kъ Ра, k2),

(3.25)

й2=0

Аз =0

которое вытекает из того, что для целых л; в выражении

(3. 24)

величина х(у) = 1.

Докажем теперь основные теоремы.

Теорема 4.

J-p (лР,

0,

(3.26)

где

/г= т т «

:

q — \ —Р;

1< K N

[nq] — целая часть произведения nq.

Доказательство.

Положим «1^ / 12^

. ..

Из условия

П ( ‘- £

1-1

где

0,- = [9,J; 61 = nlq = nq.

Отсюда

1— kj —1_

Д

П]—1 kj—]

П]

Используя последнее

соотношение,

а также (3.19), (3.21) и

{3. 22), находим