Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Скачать файл (12,07Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 229

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

b (I1j,

Pj,

kj) < J Pj

0; -f 1 ) <

ft j=0

< J p.(r i j — 0 y - i ,

i — fy-i + 1);

ОI

ОдГ

Pn =

Pi.

У Iй («2,

P2. ^2b • •

Й(йлг,

Рд-, ^ )

,«1

ft,= 0

fts = 0

*A '“ °

Одг_о

( WL P l ’ * 0 • • •

P JV-2> * Л Г -2) X

ft, =0

* A '_ 2 = ®

6Ar- l

b { l l N

- x,

Р л г - i ,

k N —l ) J p N

(«ЛГ- l —

0 A '-1 ,

”®Ar- l — ^A ’- l + l ) - ^

ftAr- l “ °

0 1

ОДГ f>

< 2

6 (/г1’ Pl’

• •

^Рглг_2’

Р^-г. ^лг-г^Х

X ^ P A 'P A ’- l l ^ A

r - l

—

0ЛГ-1>

f y v - l ~b

) < 2

^ ,il> ^ >1’

• •

Одг_о

ft.-l

®Л’- 2 . 0Дг-2— ^ Л '-г - !- 1

•••

2 ^ PCV-2> Р л Г- 2 . ^Лг-2^ J Рд-Р v - 1

( n N - Z

й д._о«=0

• .. <

Jp {n —Ol буД- l)= 7 p

(nP,

nq-\~ 1).

(3.27'.

Следовательно,

PN=

sup PlY<

/ P (/?P , nq-\- 1),

П P , - P

/- 1

что и доказывает теорему.

Следствие 1. Нижняя граница Р доверительного интервала

для Р при заданных п, d и у удовлетворяет соотношению

P>_P(i),	(3.28)
где Р(1)=/,(/г, nq, y i) — корень уравнения	7р(/гР, яг7+1) =

= 1— yi. Доказательство непосредственно следует из теоремы I

исоотношения (3. 21). Действительно, УраДяР, nq-\-1)= 1— ух<С

</р(/?Р, nq-\- 1), откуда P^P(i).

140

Оценка (3.28) без доказательства и указания на то, что при ближает точное значение Р снизу, приведена в работе [53].

Следствие 2. Для оценивания значения Р имеем такую после довательность оценок, сходящуюся к точному значению

Р (1)< Р (2)< ...< Р (^ -1)< _ Р .

13.29)

Здесь Р(,) — корень уравнения

1—Yi= supP„

П р r v

1=1

Pi = y b{nlt Pj, ^ ) v b (я2, P2, /г2)...

A,=0 ft2=0

°/-I

. У ^ (/?.;_!, Pi-l t k

ki - 1-0

N Г

Р / = П Р,; ^ = n ‘ l

V= /

/—1

П ( - * ) J

Доказательство. Поскольку согласно работе [3] функция Рк монотонно возрастает по вектору (Pi, Рг,.. ., Pjy), то для того, чтобы установить соотношение (3.29), следует убедиться в спра ведливости соотношения

Р м < Р п v * 'e [ i , w ] .

Случай i— 1 уже рассмотрен выше [см. (3. 26)]. Пусть г> 1 Тогда

	0i	“‘-1
P n	=	b (Яц Рц Aj)... ^	й ( д , _ 1, Рf-—1, k i —i ) P j \ f —j,
	*1=0	*;-1=°
	0;	0;у
где PN_ ; = y b(nh Р,., k;)... У			b(nN, PN, kN).
	Jmd	—'
	ft.=0	*д,-0
Из выражения (3. 26) находим
		Pn- i ^ Jр. (ni — 6;i б\| Jr ^
где n.i^.ni	+	^ nN.
Следовательно,

141

P i = У. b (lllt Pv

u/-l

P n <

k+ .. v

Р/—ii +-l) X

*,=0

* / - Г °

Jp+O ~

1).

что и доказывает справедливость соотношения

(3.29).

Получим теперь оценку для Р сверху.

Теорема 5.

f 2\n, «<7,У)< Р < Л ( /П М -

Y),

(3. 30)

где

/2(/г, л-,

y) — корень

уравнения

/р(/г — х, л:+ 1) =

1 — у;

[«<?] — целая часть произведения nq\

лг

q — 1 — Р;

Р =

( 1 — —);

/i^min//;.

;=1 \

' и )

\< i< N

Оценка

снизу для

Р,

входящая

выражение

(3.30)

Р ^ / 2(/г, nq, у), уже доказана

выше

(теорема 4

и следствие 1).

Для доказательства оценки сверху заметим, что

Jp, (Я — о, а + I)

Р ы >

П р;'1 V . x«,P iX ):

р"-°

Р"-° J] P"i >

1=2

А=0

/-2

»« р.>+(п + .

где

/г' =

тах/г,-; •/.= «' —(/г —0); /г =

/гг =

mгп //(-;

0 = [«#];

1■;I < Л'

yPi(/;_ri, 0_ 1)

к / < д '

(Pi) = -

F (п — 0, —П, п — 0 + I, Р|)

рл—О

п — 0

Т\(п — 0,0 -|- 1)

F (■) — гппергеометрическая функция [93];

J x{a, b)

г (а + Ь)

При этом функция ф(Pi) убывает по Pie[0, 1]. Действительно, используя правила дифференцирования гипергеометрической функции, получаем

	--------------	« (« - Д	/ г (/г_ е + 1 ) 1 _ 0)
dP 1	(л— Ь) У, (л — 0, 0 + 1)(л — 0 + 1)
			Pi
/г - 0 + 2, р д =			IV -0 (I - У	) 0 d y
/г - 0 + 2, р д =		=------ --------------	5----------------------	< 0 ,
		У, (/г — 0 ,0 + 1)		Р]1- 0

142

если Рх ее (О, PJ. Следовательно, <р(Р1)Р~х | Рд ЕЕ [0, 1] и

			/ N	\ п'	__
P n	> suptp(P1) ---- ( П Р,-			= Р " ' max «р(Р!)РГх=
	N	Р ?	V	/	P < P i< >
	п Р ; “ Р	1	' < = 1	‘
	i-l
	= Р " ' ; -р			— у р ( я — 9, 0 + 1 ) .
		ря—0 рп'—п+0
Таким образом, 1 — у=Ры^1т?(п-— 0, 0+ 1),						откуда вследст
вие соотношения (3.21) получаем,					что корень	P'— f2(n, 0, у)
уравнения	1 — -у = /Р, (и — 0, 0+ 1)				удовлетворяет соотношению
	Р' =	/ 2 («. 0, Y)= / a (п, [nq], Y) > Р,

что и требовалось доказать.

Теорема 5 позволяет найти достаточно узкий интервал, в ко тором находится точное значение нижней границы Р для показа

ла	~
теля надежности Р = ПРг-. Она	позволяет также свести много-
/=1

мерную задачу к простому одномерному случаю и вычислить Р с погрешностью

Р — Р,О)	^ P '- g d )
m in Р (I — Р ) ^		I — Р '
если Р '^0,5 . Если Р'<;0,5, то
Р ' -	■ Р ( 1 )
5 <	-(1)
	-(1)
Заметим, что хорошее приближение дает также оценка
P _ ~ f A n>nq,y).			(3.31)
Здесь п — число испытаний из тон пары значений (п,-, +•),			кото
рая доставляет минимальное значение нижней границы