Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 230
Скачиваний: 0
1. |
Нулевой |
вектор отказов d-= (0, 0,..., 0) |
при п = |
= («I, |
п2 ~■■■, нк) — случай безотказных испытаний |
элементов. |
|
Тогда из выражения (3. 30) находим |
|
||
|
|
P = PW= U - Y ) \ |
(3.33) |
где а — miu/i,.. |
При этом нижние границы доверительного интер- |
||
вала для показателей надежности системы и ее элемента, испы
тывавшегося минимальное |
число |
раз, совпадают. Результат |
||
(3. 33) ранее получен в работе [24]. |
|
|
|
|
2. Пусть при испытаниях отказывал только один элемент, ко |
||||
торый испытывался минимальное число раз, |
т. е. п = ( п и п3, . . ., |
|||
...,п.у), d = ( d h 0, 0,..., 0), |
П{= п. |
Тогда |
nq = [nq]— 3 = d \— |
|
целое число. Согласно выражению |
(3. 32) в этом случае |
|||
Р = Л («т, |
Y)= |
Pm- |
(3-34) |
|
Теорема 6. Пусть контроль за выполнением требований к по- л'
казателю Р = П Р' надежности системы в целом осуществляет-
/= 1
ся в соответствии со следующей процедурой (см. п. 1.2): относи тельно подтверждаемого уровня Р принимается положительное
решение, если выполняется соотношение |
(3.35) |
Р ^ Р Т, |
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при
значении односторонней доверительной вероятности у; Рт — некоторый фиксируемый уровень.
Тогда планируемый для подтверждения требований по на дежности объем /?,• безотказных испытаний каждого элемента определяется значениями Рт и у в соответствии с соотношением
logO — У) |
(3.36) |
|
lo g Р т |
||
|
и не зависит от числа N элементов в системе.
Доказательство. Необходимость. Пусть соотношение (3.35)
удовлетворяется |
при d = (0, 0,..., 0). Тогда необходимо выпол |
||
нение |
равенства |
(3.36). Действительно, согласно |
соотношению |
|
|
i_ |
|
(3. 33) |
при г/= (0, 0,..., 0) имеем Р—(1—у)" и из условия Р ^ Р Т |
||
находим соотношение (3. 36). |
соотношения |
||
Достаточность. Покажем, что при выполнении |
|||
(3.36) |
условие (3.35) удовлетворяется. Пусть проведены |
||
испытаний каждого элемента, в процессе которых отказов не за
144
регистрировано. Тогда согласно выражениям (3.33) и (3.36)
Р = ( 1— Y)"° Рт, что и требовалось.
Пусть проведены автономные испытания jV=100 элементов, по результатам которых найдены оценки
100
p = n ( > - t b 0 '87
/= 1
JV
.для показателя надежности Р = П Р/ последовательной системы
j= 1
Задано значение односторонней доверительной вероятности у = = 0,90. Требуется найти приближенное значение нижней грани цы для Р и оценить погрешность приближения, если минималь ное число испытаний прошел первый элемент: п1= п =20 и, сле
довательно, /7(7=20 (1 — 0,87) =2,6; [nq]=2.
Для решения задачи из теоремы 5 с помощью таблиц [63] на
ходим |
Р(|)= /2 (20; |
2,6; |
0,90) < Р < / 2 (20; |
2; 0,90) = Р |
или |
0,7192 |
'Р-< 0,7552. |
Таким |
образом, оценка |
Р(])=0,7192<:Р |
име |
ет абсолютную погрешность не более, чем 0,036, и относительную погрешность
j j - f d ) |
__ Е ~ !ц1) |
^ |
~~ f u ) __ 0,033 |
min Р, (1 — Р) |
1 — Р |
^ |
1 — Р' _ 0,2448 |
■что вполне приемлемо для ряда практических задач.
Точность оценки можно повысить, если воспользоваться соот
ношением (3.29). |
системы, состоящей из 7V= 100 |
||||
Пусть теперь к надежности |
|||||
элементов, |
предъявлены требования |
в виде |
значений |
величии |
|
Р т= 0,85, |
у=0,90. Контроль ведется |
путем |
проверки |
условия |
|
(3.35). |
|
|
|
|
|
Необходимо спланировать объем безотказных испытаний каж |
|||||
дого из N — 100 элементов. |
|
|
|
|
|
Решение задачи дается соотношением (3.36), из которого на |
|||||
ходил/ |
|
log 0,10 |
_ 15 |
|
|
|
П; > п0 = |
|
|
||
|
|
log 0,85 |
|
|
|
3. 5. УЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ОТЛИЧАЮЩИХСЯ УСЛОВИЯХ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ.
МОДЕЛИ ИСПЫТАНИЙ С ДОРАБОТКАМИ
Учет предварительной информации с помощью рассмотрен ных выше методов содержит основную посылку: априорные и апостериорные данные получены в одних и тех же условиях. На практике может оказаться, что предварительная информация по
145
лучена в условиях, отличных от тех, в которых проводятся после дующие испытания. При этом приведенные выше соотношения могут рассматриваться как относящиеся к частному случаю, когда указанные условия совпадают. Как правило, система ис пытаний строится таким образом, чтобы на каждом этапе в мак симальной степени воспроизводились «натурные» условия приме нения системы. Это позволяет считать, что при получении пред варительной информации натурные условия воспроизводятся с
определенной вероятностью. Пусть вектор £2= (£1, £>,..., £л) значений некоторых характеристик £,• описывает всю совокупность
натурных условий, |
а вектор £г = |
(£ь £2,..., S/) описывает |
условия, |
|
в которых получена предварительная информация. |
Обозначим |
|||
через Н 12 гипотезу, |
состоящую |
в том, что условия |
£1 |
п условия |
£2 идентичны.
Пусть в условиях £] проведено щ испытании системы, d1 из
которых закончились отказами. Условия ti с вероятностью Рм = = Р (//12) воспроизводят действительные («натурные») условия
£2, в которых проводятся последующие /г2 испытаний. В числе d2 из этих испытаний зарегистрированы отказы. Найдем выражения
для границ_Р2 и Рг доверительного интервала [Р2, Р2] для вероят
ности Р2 успешного исхода испытании во второй серии с учетом информации («1, flfi) и Rl2.
Рассмотрим |
событие В = {(^.х} и вероятность Р(б) = |
= Bi(n2, Р2, х), |
равную функции распределения случайной вели |
чины t — возможного числа отказов в п2 испытаниях. Используя формулу полной вероятности, находим
Р (В) = Р (Нп )Р (В\Н1г)+ Р (Нп )Р (В\Н12) ^
= Р {B\Hn )~r RV2[Р (5|//12] —P(/?|/Yia')j.
Условные вероятности в последнем выражении равны
Р | B\H12) = P{t < х\Н12) = Bi (>г2, Р12, л'); Р (В|/У12)= Bi (//,, Р2,„ а),
где Р ]2 и Р20 — значения Р2 при выполнении гипотез Н12 и Н 12. При выполнении гипотезы Hi2 выборки (яь d{) и (п2, do) ока зываются извлеченными из одной совокупности и образуют одну выборку объема п\2= 1Ч + пл с d\2= d \+ d 2 отказавшими система ми. Следовательно, нижняя граница Р2 вероятности Р2 при ги
потезе Н\2, обозначаемая через Р (о, определяется как
Pi2 f'2 ( d\2i Ya).
В случае выполнения гипотезы Н 12 будем исходить из край ней ситуации, когда степень нендентичностн £1 и £2 является мак-
•спмальной (полное несоответствие условий испытаний). При этом, учитывая, что рассматривается второй этап, проведенный в натурных условиях, целесообразно вообще отказаться от учета информации (яь d,). В этом случае нижняя граница
Р20= Л («2.^2.'Уг)-
Вероятность Р ( 5 ) = Р ( / ^ х ) является функцией распределе ния для оценки x//i2= g :
Р(Д) = |
Р ( * < * ) = У 6(/г2,Р 20,/г) + |
|
|
к=0 |
|
пг<7 |
Па? |
|
+ Я» |
£(«2, Pj2. А) — У |
Р2Э, Л) |
* = 0 |
|
|
nq
подобно тому как выражение Bi (/г, Р, х ) = V 6(«,Р,£) является
функцией распределения для q = x/n [81]. Следовательно, если в выражение для Р(В) подставить значения нижней границы для Р2, то согласно теореме о доверительных интервалах [81] будет выполняться соотношение
Р (/ < |
л-)|ра=ра = 1— У22— Bi (я2,Ро0, d2)Jr R12[Bi(л2,Р 12, d%)— |
||
|
— Bi («a,JP25. |
= Bi (n.2, P2, d2), |
|
или 1 — Ym= 1— Y2 -r R12 [Вi(Яо, P,2, r/2) — (1 — Y,)], |
|
||
откуда |
Y22=: Y2 — 7?13 [Bi (я2,_Р12, do) — (1 — y2)]. |
(3.37) |
|
Здесь y22 — доверительная вероятность, с которой |
находится с |
||
учетом величин Т?]2, пи d( искомая нижняя граница Р2 довери тельного интервала для Р2 на втором этапе.
При Л?12= 0 получаем у22= у 2- Таким образом,
Р2 = |
/ 2 («а, d-2, У22). |
(3. |
38) |
Аналогично находим |
|
|
|
Рз= |
f i (>Ц,d-2, у12), _ |
(3• 39) |
|
где Yi2=Yi + ^ia [Bi (я2, P12>d2— 1) — Yili P ia = /i(« i2. |
Ух)- |
|
|
Приведенные соотношения справедливы при рассмотрении двух серий испытаний (&=2), проведенных в различных услови ях. Обобщая эти соотношения на случай й>2, находим, что на k -м этапе границы доверительного интервала для вероятности Р„
147
успешного исхода в одном испытании определяются по фор мулам
Р* = Л («ft,d k, Y u ); P ft= / * (#d*k,, Y3S), |
(3.40) |
где величины ywt и уы вычисляются с учетом всей имеющейся ин
формации п = («,, п2) . . пк- 1), d = (dt, do, ■■ dh_1) no заданным значениям yi и y2.
Легко убедиться, что при независимости Ну, соотношения для
Yi/i и Y2и принимают вид |
|
|
|
|
|
|||
s-i |
|
fc-1 |
|
|
|
|
|
|
Yu = П ' |
ju |
Bi (пк, Р1Л *, dk\ + V |
^ |
Bi i,h>PIl3, |
dk- l)-f |
|||
|
|
Kjl! |
|
|
|
|||
7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QnQvft |
Bil%,Pli3... |
+ |
... + |
Ц ^ _ y |
; |
(3.41) |
|
'J |
Rn-Rvft |
ft—1 |
У=1 «7* |
|
|
|||
Y2*=' |
|
*-i |
|
|
|
|
||
|
П |
Bi ( « А, Р ь 2 ,... ft,d k ) + |
V |
^ |
Bi ( n k , Plia... lSly, </*)-{- |
|||
|
|
j - 1 |
|
/“ i |
|
ft-1 |
|
|
|
|
Qj'aQvft |
|
|
(1- |
|
||
|
|
|
|
П ^ |
|
|||
|
v</ |
Rjk&vk B’ («ft, ^.....ftly.v, rfft)+ ... + |
V2) |
|||||
|
|
|
|
|
;=i |
|
(3.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Rjk= P (Hjk) = 1— Qifl — вероятность того, что условия ис пытаний на /-м и й-м этапах идентичны;
Pl.8...... |
ft-- / 2 |
(«1.2....,ft, |
d \ 2 .... |
ft, y2); |
P i,2... |
ft-- f l( « l ,2 |
...ft, ^1.2..... |
ft, Yl)'v |
|||
|
|
P l.2 ..„ *i/ = |
/ a |
( «1.2 .... |
ftly, |
^ l ,2 ,...,ftly, Y2), |
|
|
|||
|
|
P l.2..... |
,ftly= |
/ i ( « |
i2,,....ftiy, |
^1 ,2 ... |
д-ly, y2); |
|
|||
|
|
Pl.2.„.. |
ftiye — |
/ |
2 («1.2 ... |
ftly.v, ^ 1,2.... |
ftiy.v, |
Ya); |
|
||
|
ft |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
«1,2,. |
|
«1.2 |
|
i = i |
; — |
>lj\ |
n ll2... |
ftly, v = V «,•—tlj — / i v; |
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
(=1 |
|
||
|
k |
|
|
|
k |
: |
|
|
ftly,V ~ |
к |
rfy. |
d i 2 ..... |
ft= = ^ |
j «,|, d \ , 2 |
|
( = i |
d j , |
d-^ 2..... |
d i |
||||
|
j=i |
|
|
|
|
|
i =■! |
|
|||
Определение величины Rjk= P (Нjh), входящей в приведенные выше соотношения, представляет собой самостоятельную зада чу. Упрощая решение, будем считать, что событие Hjk эквива лентно следующему: выборки (tij, dj) и (nh, dk) получены в оди-
148