где k — число остановок объекта; тп i — их длительность.
Так как тп ,■и к независимые случайные величины, то мате матическое ожидание времени простоя за интервал т опреде ляется так:
М \Тиpr 1] = Ж т„;j = М (к) М (т„ j)— N (т) /пТц,
где т,хп — математическое ожидание длительности интервалов времени простоя, которое определяется следующим образом:
mxn= m x — М [t = min {ta,, тб,, т„,}].
Математическое ожидание времени работы объекта между двумя соседними остановками определяется так:
т
mZp = M [ x = min [та, т6, тв)] = j1т®(т)*/т.
о
Вероятность застать объект в момент х в рабочем состоянии оп ределяется зависимостью
Рр = ----- = |
т , |
Г тч»(т)сГт; |
(7.60) |
т , + |
т х ,) |
|
‘р |
'и |
о |
|
суммарное время рабочего состояния объекта — |
|
Ж [Гр(т)] = Ррт, |
(7.61) |
а время простоя — |
|
|
|
ЛГ [7'„(г)] = (1 — Рр)тг. |
(7.62) |
При работе объект может выключаться по различным причи нам и в случайные моменты времени. Весь процесс функциони рования объекта во времени разложим на составляющие
(рис. 7. 10):
Ti — время |
между моментами пуска объекта и его выключе |
ния системой |
аварийной защиты из-за возникновения аварий |
ного режима; |
пуска объекта и выключения |
Тг — время между моментами |
из-за ложного срабатывания системы аварийной защиты; |
Тз — время между моментами пуска объекта и его остановки |
из-за катастрофического отказа |
(необнаруженных отказов си |
стемы аварийной защиты). |
|
Определим плотность распределения случайных величин ть тг и тз. Указанные плотности распределения определяются ана логично, поэтому рассмотрим нахождение только /3(т).
Могут быть два случая катастрофических отказов.
1. До момента т нс было пн одной остановки, и в интервале т, т + Дт произошел отказ, необнаруженный системой защиты Вероятность этого события определяется по зависимости (7.52):
P„i (t, т + дт) = ср„(т) дт. |
(7.63) |
2. До момента т были остановки объекта по другим причи нам (из-за ложного срабатывания системы защиты или выклю чения аварийного объекта системой защиты). Определим веро ятность того, что в интервале т, т+Дт произойдет остановка объ екта из-за катастрофического отказа:
Рвз^. ■с + Дт/г*) = <рв(т — т*)дт, |
(7.64) |
где т* — момент последнего пуска объекта перед остановкой.
Оа
Tr |
%■ |
z2 |
|
Рис. 7. 10. Составляющие процесса |
функ |
ционирования |
|
Вероятность того, что последний пуск объекта произошел в интервалет, т* + Дт* определяется так:
ев
РвгО*. **+ ДТ*)= V срв Дт*) ДТ*, *=1
где срвh(т*) — плотность распределения случайной величины т*, соответствующей k-му пуску объекта после остановки из-за лож ного срабатывания систем защиты или в результате выключе ния системой защиты объекта, находящегося в аварийном режи ме. Плотность распределения фвл(т*) находится как свертка функций
<?аМ ^ а х М + ТбМ^'РвгО'О^ФвО'Д |
(7.65) |
Для определения фвл(т*) может быть использована рекуррент ная формула
?»*(**) = f cP*-i(£)'Pn(^* — b
Для определения суммы ^ (рвА(т*) воспользуемся преобразо
Й = 1
ванием Лапласа |
|
|
|
L 2 *Рв* (t*) |
: 2 |
1 [?»й(>*> ]= 2 I1 |
!*• |
.*=1 |
Й=1 |
Й=1 |
|
Подставив в последнее уравнение зависимость (7.65), получим
2 <Рвй(Т*)] = 2 [C?al/,)?al(/,)+ t?6(/7)?6.(/J)]ft-
А=1
Так как
то
со
(7.66)
й=1
Переходя от изображения в уравнении (7. 66) к оригиналу, мож но определить
Тогда вероятность того, что катастрофический отказ объекта произойдет в интервале т, т + Дт определится по формуле пол
ной вероятности
т
Р„2 (И * + дт)= j Рв2(т*, т* + дт*)Рв2(т, т+ дт/т*)аЬ;* =
О
Й=1
Искомая плотность распределения /3(т) при условии незави симости Рв1 и РВ2 найдется по зависимости
/ 3(т)дт = Рв1(т, т + дт)-|-Рв2(т, т + дт).
После подстановки уравнений (7. 67) и (7. 63) в последнюю зависимость окончательно получим
/ з М —С?в('С)_Ь | |
<рв (* - * * ) У c?Bft(T*)aft*. |
(7. 68) • |
б |
й-1 |
|
Вероятность катастрофического отказа объекта в течение вре мени т определится так:
Q» |
J/ з (т ) dx = |
[ F (^ Ча(T) dx + |
|
|
|
0 |
0 |
|
T |
Ё |
|
со |
|
+ j |
j |
A ( s - T * ) < 7 „ ( s — T*) 2 |
\7. 69) |
о 0 |
|
/.'=1 |
|
Аналогично изложенному определяется плотность распреде ления времени от момента пуска объекта до его выключения си стемой аварийной защиты из-за развития в нем аварийного ре жима
Т |
со |
|
- / l ( f ) = ¥alT;) + j' cpait-T*) V ^ jT ^ U /T * , |
(7.70) |
6fc-I
iiвероятность выключения объекта системой аварийной защиты
т |
те |
Са1т)= [Л '^ Р о 1 т О ^ + |
f f A (e- T * )P 0(s- T :|:) X |
0 |
0 |
0 |
со
(7.71)
S=1
плотность распределения /2(т) времени от момента пуска объек та до его выключения систем аварийной защиты из-за ложного срабатывания
Тсо
/2(т0 = ?б(г ) + | ? б ( т — *4 2 ?6A-iT* |
' > |
(7.72) |
6
и вероятность ложного выключения объекта
|
<3б(г ) = \ ’ [1—^ It)] |
<7л (т)а!т + |
|
|
0 |
|
|
+ j |
J 11— F (s - х *)\ Чл (£ ~ |
**) 2 % k (t*)dx*ds. |
(7. 73) |
6 |
6 |
*=i |
|
Интенсивности восстановлений объекта после рассмотренных остановок его определяются следующим образом.
Интенсивность восстановления объекта после катастрофиче ского отказа определяется по уравнению (7.58):
Т |
|
«в(т;)= /„ зС г) + f >h{x*)f»3( x - x * ) d x * , |
(7.74) |
6
где
/ « Л ^ / з М * ? , . г С О -
Стационарное значение интенсивности восстановления опреде ляется выражением
|
|
l i m « „ ( T ) - = — = / г „ , |
|
|
|
|
Т-ео |
/Льн |
|
|
где |
mT0= |
\ t / D3( 0 ^ = |
lim( —1 ) - ^ ^ ^ - |
(7.75) |
|
1 |
J |
p-о |
dp |
|
|
|
о |
|
|
|
— математическое |
ожидание длительности |
интервалов |
времени |
между двумя очередными пусками объекта после катастрофиче ских отказов, Среднее число восстановления после катастрофи ческих отказов в течение времени т определяется выражением
N a(т)= J nB{x*)dx* |
(7.76) |
о |
|
и среднее время простоя объекта из-за катастрофических отка зов за время т —выражением
(7.77)
оо
где тх^ в= j*tcpul (т) dx — математическое ожидание длитель-
о
ности простоя после катастрофического отказа.
Аналогично определяются интенсивности, число восстановле ний и среднее время простоя после аварийного и ложного вы ключения системой защиты объекта.
Находим характеристики восстановления объекта после вы
ключения его системой аварийной защиты, |
когда он находился |
в аварийном состоянии: |
|
|
|
интенсивность восстановления |
|
|
ЯаОО = /а 1ЙО + \ пя{х*)/а1(х —х*)с1х*, |
(7.78) |
6 |
|
|
|
где |
|
|
|
/ l( 't )= |
/ l( 'f) X <Pal(f); |
|
|
математическое ожидание длительности |
времени |
восстанов |
ления |
|
|
|
т,п= |
f х / л (т)дГт; |
|
(7.79) |
|
6 |
|
|
