среднее число восстановления
W a ( * ) = f / * a ( t ) < / t ; |
( 7 . 8 0 ) |
о
среднее время простоя объекта
где
со
т\ л = f
6
Находим характеристики восстановления объекта после выключения его из-за ложного срабатывания системы защиты:
интенсивность восстановления
«бИ 0=/б2(*)+ |
«в(* * )/« С* — **)^*. |
(7- 82) |
|
6 |
|
|
где |
/ia(f) = / 2 lf) X ?6i(T); |
|
математическое |
ожидание времени восстановления |
|
|
со |
|
|
'Ит6= |
I’t/eait) cix\ |
|
|
о |
|
среднее число восстановлений |
|
|
|
х |
(7.83) |
|
N 6(x)= \ п6\х)с1х-, |
|
|
6 |
|
среднее время простоя объекта |
|
где |
м [Л,.б1т>]=^у б(т1"Ч .б- |
( 7 - 84) |
|
оо |
|
|
|
|
|
,?Ч . б = |
f ^ « i ^ ) |
|
|
|
6 |
|
Для вычисления характеристик взаимодействия объекта с системой аварийной защиты удобно использовать преобразова ние Лапласа.
Покажем на примере определение характеристик взаимодей ствия системы защиты и объекта.
П рим ер . И м е е т с я мекая |
с и ст ем а , с о с т о я щ а я из |
о б ъ е к т а |
и си ст ем ы а в а |
рийной за щ и т ы |
и и м е ю щ а я |
с л е д у ю щ и е |
х а р а к т ер и ст и к и [67]: |
|
— ф у н к ц и я |
р а с п р е д е л е н и я врем ен и |
б е з а в а р и й н о й |
р а б о т ы |
об ъ е к т а |
F ( т ) = I — е “ х Л
— плотности распределения величии времени восстановления
<Ра1 ("С) = Н-1 |
(7.85) |
<Рб1(Т) = Н-2 e_|iaT, |
«Pel ('С) = ^ зе _и-3'- . |
|
Характеристики системы защиты следующие: |
системы защиты; |
л2 — интенсивность необнаруженных отказов |
А3— интенсивность ложных срабатываний системы защиты; А:. — интенсивность вторичного отказа системы защиты;
p.i — интенсивность восстановления системы защиты; тр ■— время работы объекта и защиты.
Найдем следующие характеристики взаимодействия. 1. Вероятности Р0(т), <7,1 (т), <7л (т).
Ввиду того, что процесс функционирования системы является марковским, то он описывается системой уравнений
d Рр (?)
— (Ао + А3) Р0 (t) + р-4qa (т);
йг
|
|
dq»(-c) |
Х2 Р0("*); |
|
|
|
— (Р4 + Х4) qK(т) + |
|
|
|
dv |
|
|
|
|
dqn (-с) |
|
|
|
|
= А3Р1) (т) + А4qH(т). |
|
|
|
|
dv |
|
|
Начальные |
условия: Р0(0) = 1; <7н (0) =0; <7Л(0) = 0. |
|
Преобразуя |
по |
Лапласу приведенную систему уравнении, получим |
|
|
(Р + А2 + A3) Р0 (л) — Р4?н (Р ) + 1; |
|
|
|
(р + w +■ а4) <7н(р ) = а2 Ро(р ); |
(7.86) |
|
|
рчл (р ) = а3Ро(р ) + Uq» (р )- |
|
|
Решая систему |
уравнении (7. 86) относительно |
Ро(р), qa(p) |
и <?л (р), по |
лучим
_________ Р + Р4 + А4 Ро(Р)= (р + А4) (Р + Р4 - Г Х4) + (р Х4) а2 ’
____________ ^2____________
Рн(Р) |
|
(Р + Аз) (р + р-4 + А4) + А2 (р + Х4) |
А2(р + Р4 + А4) -р А9Х4 |
Рл (Р) = Р [(Р + A3) (Р + |
Р4 + х4) + А2(р + д4)] |
2. Плотности распределения |
|
<Ра (*) = F (и) Р0(т) = |
А, е—Ai* р0 (Т); |
?6(t) = [I —^(т)] чп (т) = е_х‘тРл(т); |
9в(т!) = F {v)qн(т) = |
Х,е Xi'7 „(t). |
Перейдя к изображениям, получим |
|
|
9a ( P) |
= |
h Р0 (P + |
X|) = |
|
X| j p + X| 4- щ + X4) |
|
|
+ X| + |
Xg) ( p -г |
X, + (J-4 + |
X4) + |
Xo (/^+ Xl + X4) ’ |
|
|
|
|
( p |
|
|
|
|
) = |
(/> + Xl) Чд(Р + |
^l) = |
|
|
|
|
|
|
Xg ( P 4" X[ + (J-4 + X4) 4~ X0X4 |
|
|
|
|
|
i P 4- Xi + X3) ( p |
4- X[ + |
^.4 4 - X4) + Xo ( p + |
Xj + |
X4) |
|
9 h ( P) |
= |
Xi<7„ i p + |
X|) = |
___________ |
Х1Х2 |
|
|
|
|
X3) ( p -f- X| 4 - f*4 4- X4) 4- Xo( p- \ - X14-X4) |
|
|
|
|
(n -f- X| + |
3. Плотность |
распределения |
интервалов времени между двумя пусками |
объекта |
|
|
/ (/0 |
= 9 а (/О 9аI ( р ) |
+ 9в (/О 9п1 (/О + 9 в ( Р) 9nl (/О- |
Сучетом соотношений (7.85) и (7. 87). получим
М(р )
f (/0 = |
' |
D { p ) |
где |
|
|
Х141 (jо + Х[ + р.[ + Х4) |
М ( Р ) = М а ( Р ) + М 6 ( р ) + Л /„ ( р ) ■- |
|
Р + 4! |
^ Xgflg (р —г X| 4- (J-4 + Х4) + |
X0X4JJ.0 Х|Хо|Ао |
|
|
|
|
|
Р + 42 |
|
|
Р + |
43 |
|
D i p ) = р - 4- (2Х| — Хо 4- Х3 4- Х44- щ ) р + |
|
|
|
+ (X, 4- |
Хз 4- Х4 4- |
щ ) Х| 4 - 44X3(Хо 4- Х3) Х4 . |
4. |
Математическое |
ожидание т. |
длительности |
интервалов времени ме |
ду двумя пусками объекта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, , df(P) |
|
, |
1) |
M { p ) D ( p ) - M { p ) |
Р { р ) |
т . = lim ( — 1 ) ------- = ( |
|
|
|
D 4 P ) |
P“0 |
|
р ~ о |
d p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xo 4- |
X.i |
■44 |
|
|
|
|
(X, 4- X3) (X, |
4- X44- ,04) 4- |
Xo (X| 4- |
X4) |
|
|
+ |
(X| 4- X4 |
4- u4) \ ft1 |
fio |
^/ 4- —fto |
4- |
fto |
5.Функция распределения (f (т)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л4, i p ) 67 |
|
|
9 (P) |
= 9a |
(P) |
- f |
96 ( P) + |
9n (jo) = ' |
. , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D i p ) |
|
где |
i p ) = |
i p 4- X| |
4- |
X4 4- 44) |
(X] 4- X3) |
4- Xo (X, - f X4). |
6. |
Математическое |
ожидание |
длительности |
интервала |
времени рабочег |
состояния объекта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. |
= lim ( — 1) |
>КИ) |
|
|
|
Х| |
4- |
Xg 4- |
Х44- 44 |
|
|
d v i p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘р |
р -0 |
d p |
|
(X. 4- |
Х3) (X] |
4- |
Х44- |
44) 4- Хо (Х| |
4- Х4) |
7. Среднее время простоя управляемого объекта за время тр
8. Плотность распределения интервала времени от момента пуска до к
тастрофического отказа
|
/ з( Р) = 9«(Р) |
' —У ?!.к (Р) |
= ?в (Р) |
+ • ?iЛр) |
|
|
утвгА |
|
— >Ы/0 |
|
|
k=\ |
|
|
|
|
/из (Р) = /з (/0 «Pul (/>) = |
|
|
D{ p) { p + ^) 1 |
XItuL| (р -Н Х| + |
Х4 -г p<i) |
р-зХз (р + X] 4- Х4 + ,u-,|) |
|
D(p) (р -г p-i) |
D ( p ) ( p -Ыч) |
|
|
_____ XiXop.3
Р2Х2Х4
o(jO) (jO+ (X3)
9.Математическое ожидание длительности интервалов времени межд двумя пусками после катастрофического отказа
т = 1iin (— 1)
ч |
р—О |
dp |
|
XiX2 + р-з (X, + |
+ W) ( 1 + — |
+ — ) + |
Х2 (1 + — |
|
P-1 |
Р2 / |
V (Ч |
х1X0JX3
10.Стационарное число восстановлений
__________________________ Р-з |
|
|
|
|
1+ |
_рз_ |
(X, +Х 4 + Р.4) (1 + |
— |
+ — ) + |
x2fl + — ) |
|
Х]Х2 |
\ |
PI |
Р2 1 |
\ |
К J |
11. Среднее число восстановлении
Мв (t) = Тр/от .
В
12.Суммарное время простоя из-за катастрофических отказов
М[Г„.в(т)] =М „(т) — .
^■3
Аналогично можно в явном виде получить все характеристики систем
7. 6. 3. Влияние свойств системы управления на характеристики объекта защиты
В общем случае объект защиты имеет систему регулирова ния некоторых параметров рабочего процесса, которая поддер живает значение их в заданных пределах. Система регулирова ния взаимосвязана с системой защиты.
Регулируемый параметр г/, может выйти за допустимые пре делы по следующим причинам:
— отказ объекта по каким-либо причинам, когда система регулирования не справляется со своими функциями, состоя щими в поддержании регулируемого параметра в заданных пре делах;
