Система исправно работает, если нет отказов блоков; веро ятность этого события, согласно уравнению (8. 13)
P 6= e ~ V ;
если откажет один блок, |
|
|
|
P(l) = V e - V ; |
|
если откажут два блока —Р(2) = |
(Л6т)2 е 6' |
|
и т. д., до т включительно |
|
|
|
Р (т) |
(Х6т ) т е V |
|
|
т \ |
|
|
|
|
Вероятность того, что резервированная система |
исправно |
работает, будет равно сумме указанных вероятностей, т. е. |
р _ P- V V |
Пб*)" |
(8. 14) |
"Z t 1!
1=0
Всилу последнего допущения можно записать
|
|
Р/ = е“ х'т , |
|
|
|
где г = 1, 2,..., п. |
исправной |
работы |
системы, |
состоящей |
из |
Тогда вероятность |
п элементов, определится следующим образом: |
|
|
Po= li e _ V =е_Л°Т> |
|
|
где Л0=%[П. |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (8. 14) можно переписать в виде |
|
|
р |
=р |
V ( ~ |
1" р о )‘ |
|
(8. |
15) |
р |
0 |
/=0 |
|
/1 |
|
|
|
Эффективность «холодного» |
резервирования |
определяется |
зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Xq-c)' |
1 |
v |
|
|
|
/=0 |
|
-Хйх |
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
8. 1.5. Понятие об оптимальном резервировании
При создании систем, в которых применяется тот или иной метод резервирования, возникает задача не только обеспечения
высокой надежности, но и достижения заданной надежности с минимальными затратами.
Единица измерения затрат определяется конкретной зада чей— это может быть стоимость, масса или габариты. Так, для систем типа летательные аппараты, выполняющих ответствен ные функции, обычно не возникают ограничения по стоимости, а определяющее значение имеют ограничения по массе или га баритам. В некоторых случаях необходимо учитывать несколь ко ограничений, например, по стоимости и массе.
Однако в большинстве случаев ограничивающие факторы, например, масса и стоимость, связаны между собой линейной зависимостью, поэтому выполнение условия по самому жестко му ограничению приводит одновременно к удовлетворению остальных ограничений.
Рассмотрим только один ограничивающий фактор, не кон кретизируя его, и назовем его стоимостью.
При рассмотрении оптимального резервирования возможна постановка двух задач [20].
1. Требуется обеспечить вероятность исправной работы си стемы не менее заданной при минимальных затратах на резерв ные элементы.
Математическая формулировка задачи: найти минимум функции
С = У (С ,ш ,+ С П
Jmd
1=1
при условии
|
р = П Р /1 » о > р тр. |
|
1=1 |
где |
С — стоимость системы; |
|
/г — число расчетных участков системы, где применено |
|
резервирование; |
|
Q — стоимость одного элемента /-го участка системы; |
С/0) — начальная стоимость /-го участка;
Рi(nii) — вероятность исправной работы /-го участка при наличии /П; резервных элементов.
2. Требуется обеспечить максимально возможную вероятность безотказной работы при заданных затратах на резервные эле менты.
Математическая формулировка задачи: найти максимум функции
Р= ПРД'”Л
1=1
з:-б
при условии
С= 2 ( С , т Н - С / ) < С тр.
i-i
Указанные задачи относятся к области нелинейного или мар гинального программирования, теория которого в настоящее вре мя достаточно хорошо разработана [50].
Для решения поставленных задач наименьших вычислений требует метод наискорейшего спуска. Решение методом наиско рейшего спуска заключается в следующем.
Отыскивается значение экстремума некоторой функции путем последовательных шагов из начальной точки по направлению градиента или по направлению, имеющему максимальное зна чение частной производной. Для каждого шага необходимо оп ределить значение функций и ее первых частных производных в процессе движения к экстремуму.
Практически задача решается так. Рассматривается исходная система, у которой нет резервных элементов. На первом шаге отыскивается такой участок системы, прибавление к которому одного резервного элемента дает наибольший «удельный» выиг рыш в приросте вероятности исправной работы системы в пере счете на одну единицу стоимости.
На втором шаге отыскивается следующий участок системы, включая и пройденный, прибавление к которому резервного эле мента дает наибольший прирост вероятности исправной работы.
Далее поступают аналогично. |
пц раз, т. е. |
Пусть каждый i участок системы резервирован |
|
т |
|
сделано М = |
шагов. Значение вероятности исправной рабо- |
|
i=i |
|
ты на М-ом шаге равно |
|
|
П |
|
|
Р (М) — Р(т1, т 2, . .. , тп)— \\ P,-(mf). |
(8. 16) |
|
i=i |
|
На следующем шаге (М+1) следует добавить еще один резерв |
ный элемент к тому участку, для которого будет максимальная величина
Y |
1) = — [ Р (/1Щ«!,, ■- • , т1+1, |
. . . , m„) — |
|
— Р (mlt т2, . |
m,,)]. |
(8. 17) |
Определяя |
вероятности Р(М) |
и Р(М +1) |
через вероятности |
исправной работы отдельных участков, получим |
V/ (mt -|- 1)= ■ Pi(m/-r 1) П Р / < |
П р*(1П„ |
|
С , |
*=1 |
|
А= 1 |
|
P i ( n i j + 1) — Р,- (/га,-) |
(8. |
18) |
|
С , Р , (/и /)
Величина Р(Л4) является сомножителем всех выражении Yi(/77i+ l) Для /= 1 , 2,. . п. Так как нас интересует относитель ная величина у(/и^+1) по сравнению с другими такими же вели чинами, результат не изменится, если иа каждом шаге выбирать тот участок для которого
|
1) |
рi(nlj +1) —Р,- (<Я,0 |
(8. |
19) |
|
С/Р/ (/Л;) |
|
|
|
|
имеет максимальное значение.
Следовательно, определив для каждого участка системы зна чения у,-, можно определить число и место резервных элементов, обеспечивающих оптимальное резервирование. Метод также по зволяет выбрать вид резервирования (постоянно включенный, скользящий, и др.), обеспечивающий получение заданной надеж ности с минимальными затратами.
Применение метода покажем на примере [20].
Дано. |
Система |
состоит |
из 5 |
участков, соединенных последовательно. |
Первый |
участок |
имеет |
один |
элемент с вероятностью исправной работы' |
Р(= 0,9 н |
со |
стоимостью С| = 3. |
Участок допускает использовать только по |
стоянно включенный резерв. Первому участку подобен третий, но отличается характеристиками Р3==0,2, С3= 1. Второй п четвертый участки допускают ис пользование «холодного» резерва. Для второго участка Р2= 0,2, С2= 3, для
четвертого Р;=0,9, С>,= 1. Пятый участок имеет три идентичных элемента с С5= 5 и Р5= 0,5 для каждого.
На данном участке возможно общее резервирование со скользящим па стоянно включенным резервом, при этом 1>3.
Решение.
Для первого и третьего участков
Р/ (/п,) = 1 - ?Г,'+1;
для второго и четвертого
|
т |
|
р«(/я/) = р« |
1 Я |
Р/)*; |
для пятого участка |
|
3 |
|
М: |
|
Р/ (mi) |
Рк а т'1+ 3—к |
З11 |
4i |
к=3
Решение находится в следующем порядке.
1. Определяется для каждого участка Р{(т{) и составляется табл. 8. 1.
2. На основании табл. |
8. 1 и известных значений стоимостей |
элементов- |
С,- составляется табл. 8.2 |
значении у ,(т , + 1), рассчитанных по |
формуле- |
(8. 19) для всех i и различных значений /л,-. |
|
Втабл. 8. 2 индексы Л'° 1, 2 и т. д. обозначают номер шага расчета.
3.Выбирается из табл. 8.2 шаг N° 1 [максимальная из величии у*(1)1*
У2= 0,538;
— по'табл. 8.1 отыскивается соответствующая величина Р,( 1):
р,(1) =0,5249;
