— он нестационарен, так как вероятность состояния систем в интервале Дт зависит не только от длительности этого интервала,
•но н от положения его на оси времени;
— он |
обладает последействием, так как вороятность состоя |
ния I,- (т) |
зависит от эволюции системы в моменты, предшествую |
щие рассматриваемому интервалу времени, т. е. при рассмотре нии /-го состояния необходимо знать историю состоянии-
— он ординарен, так как переход объекта зашиты из / — 1 в ;'-е состояние происходит последовательно и переход из /-го состояния в /+ 2 состояние не возможен.
8. 3. 2. Точное решение системы уравнений
Прежде чем решать систему (8.35), выясним смысл функций перехода ф,-,- и выразим их через вероятностные характеристики
•системы аварийной защиты двигателя.
Воспользуемся известным из теории вероятностей соотноше нием
|
t-p дт) |
' Р (т) — Р (т, т + Дт) |
|
(8.37) |
|
|
РСЙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соотношении (8.37), произведя предельный переход |
п заме |
чая, |
что при Дт— >-0 дробь q(т, т+Дт)/Лт сходится |
равномерно |
по т, получим |
|
|
Р(т) |
|
|
|
|
Пт ? (Т’" +ЛТ) |
*(*), |
|
(8.38) |
|
Р(т) |
|
|
лт-*о |
Дт |
|
|
|
|
где л (т )— интенсивность |
перехода. |
|
|
|
|
|
Тогда с учетом зависимости (8. 37) |
и пренебрегая величина |
ми малости второго порядка и выше, функцию перехода |
(8.36) |
можно записать следующим образом: |
|
|
|
|
|
’hi (т) = - |
(и ~ 1) [МП + |
|
; (т)1> |
|
|
|
Ф(, |
1) [ф_!(т)(1 -? н )л -V - d M]- |
(8-з э ) |
где |
ki — интенсивность отказов блока |
(двигателя) при фазовом |
|
состоянии объекта защиты; |
|
|
системы ава |
|
кл i — интенсивность |
ложных |
срабатываний |
|
рийной защиты при /-ом фазовом состоянии. |
|
В общем случае интенсивность отказов двигателя зависит от длительности работы. Функция Афт) определяется по результа там обработки статистических данных испытаний. Можно пред положить, что наибольшее количество отказов проявляется в про цессе запуска двигателя, когда возникают переменные с боль шими градиентами тепловые и механические нагрузки на эле менты конструкции. Поэтому интенсивность отказов в период запуска может быть на порядок больше, чем на установившем ся режиме работы [20].
В общем случае функцию А(т) для двигателя можно пред ставить в виде, показанном на рис. 8. 5.
Таким образом, значения функций перехода фн(т) и ф(г_щ(т)- будут зависеть от момента г'-го состояния объекта защиты во вре мя работы двигателя.
В данном случае для интегрирования системы уравнений. (8. 35) необходимо весь период работы объекта защиты разби вать на два участка, для которых интенсивности отказов мож но принимать постоянными .во времени.
|
Первый участок 0 — т*, |
|
|
|
где |
а; (т) = л* = сопз^; |
|
|
|
|
xa,'('r)=:Xa I- = consti> |
|
№ |
|
второй участок т* — тр, где |
О z* |
, |
|
X,- (t) = X(.p) = consta; |
|
zp т |
|
Рис. 8.5. Зависимость интен |
|
^ ( * ) = ^ p]= consV |
|
сивности |
отказов от |
времени |
Здесь Тр— заданное время работы, |
|
работы |
|
|
|
|
т* — время переходных процессов.
Начальными условиями для интегрирования системы урав
нения (8. 35) |
являются: |
|
|
|
|
т = 0; 50(0)= |
1; l0) = |
£a(0) = |
. . .= SOT(0) = 0. |
(8.40) |
Система |
уравнений |
(8.35), |
когда |
функции перехода ф |
ф(,-_1)г являются постоянными величинами, может быть решена различными классическими методами, так как эти уравнения можно записать, используя векторно-матричные обозначения в следующем виде:
d x = Ах: dv
к(t)
х(т). =3 |
( Т ) ; А = {аи ), |
(8.41) |
5« |
СО |
|
где ctij— интенсивности переходов фщ.
Первым классическим методом является метод, основанный на отыскании решения в виде линейной комбинации экспонент
х—-еиС.
Врезультате получаем систему линейных алгебраических уравнений
Отсюда X находится как корень характеристического урав нения
|Л — Х/| = 0 ,
где J — единичная матрица.
Так как число состояний системы может быть большим, то
характеристическое уравнение будет высокого порядка |
и корни |
уравнения могут быть найдены с помощью громоздких |
вычис |
лений. |
|
понятия |
Второй классический метод основан на введении |
матричной функции |
|
|
e* W + V |
^ . |
(8.42) |
п=0 |
П\ |
|
В этом случае решение системы уравнений записывается в виде
х = С е л~.
Однако в том случае, когда число уравнений велико, при исполь зовании этого метода встречаются большие трудности.
Наконец, широко применяется метод, основанный на исполь зовании преобразования Лапласа
U /0 = £U,-lt)]-= Г |
$/1*) е~р~с1х. |
|
(8.43) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Переходя в уравнениях |
(8.35) |
к |
изображениям по |
условию |
(8.41), получим систему |
|
линейных |
алгебраических |
уравнений |
относительно изображения |
|
Используя правило |
Крамера, |
можно легко найти выражение для изображения |
|
|
|
я{р) |
|
A; (р) |
|
|
|
|
М/0 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Д(р) — главный определитель |
системы алгебраических |
уравнений; |
|
получаемый из главного |
|
заменой |
Ai ( p) — определитель, |
|
элементов i-ro столбца |
соответствующими |
свобод |
ными членами. |
|
|
|
|
|
можно |
Применяя затем обратное преобразование Лапласа, |
так записать выражение для оригинала £,(т): |
|
|
|
|
|
О - г / СО |
|
|
|
К,.(Т)= |
- |
^ |
Г |
Щ р - ы а р . |
|
(8.44) |
|
2л |
,) |
Д (р) |
|
|
а + / со
Этот интеграл берется по теореме о вычетах.
При большом числе уравнений необходимо, как и в первых методах, решать приближенными способами алгебраическое урав нение высокой степени (при отыскании особых точек).
Применим метод преобразования Лапласа для решения рас сматриваемой задачи. Переходя в системе (8.35) от оригинала к изображениям с учетом условий (8.40) и (8.43), получим си стему алгебраических уравнений
?о(^) + ^о(Р) = Фоо?о(/’);
Решая систему (8.45) изложенным выше методом относительно- £,-(р), определим вероятность /-го состояния объекта защиты,, выраженную в изображениях по Лапласу
|
*,(/>)= |
2 е,(0)М/>). |
|
(8.4б> |
|
|
/=0;/=0 |
|
|
где |
i — 0, 1, 2, ..., |
т; J = 0, 1, 2, |
..., т\ |
|
|
П |
i |
|
|
|
М / ;) = 7 Г ---------’ приi = j П ^(А + 1)= ^(/+1)= 1 - |
(8-47> |
|
11(Р+4'*а) |
|
|
|
|
к-} |
|
|
|
|
Вероятность исправной |
работы объекта |
защиты, когда |
нор |
мально функционирует не менее я — т из я обобщенных систем, выраженная в изображениях по Лапласу, согласно зависимости
(8. 28) |
определится следующим образом: |
|
|
|
|
т |
п |
т |
|
(8.48) |
|
p „ » |
w = 2 ^ ) = |
2 |
E' ( ° ) 2 M |
/ ’)- |
|
|
i=0 |
/=0 |
1=] |
|
|
Используя формулу |
обращения |
Лапласа (8. |
43) |
в уравнении |
(8.48), |
перейдем к оригиналу: |
|
|
|
|
рЛш ( * ) = 2 ^ 0)2 м |
т)- |
1=0 |
7=1 |
|
Для нулевых начальных условий |
т |
|
|
|
?/(f)=5//('t); P « m (f)= 2 |
^ W - |
|
i=0 |
Если вероятность состояний определяется для произвольно го &-го участка на оси времени т, то уравнение (8. 49) прини мает вид
Р „ „ , ( '0 = 2 |
1) 2 |
/=о |
<=0 |
