Вероятности фазовых состояний |
определяются функциями |
перехода |
|
Рассмотрим два случая. |
|
1. фп для разных i не равны друг другу, что бывает тогда, когда изменяются интенсивности отказов двигателя и системы аварийной защиты при переходе из одного состояния в другое:
&л(т) = |
j 2 |
^ |
' exP [ ~ Х Д т)] } II Фг(г+п ’ |
[S- 52] |
|
|
U=/ |
|
|
|
I r~j |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Dji = |
Ok/7-------------------------— фл./-) |
|
5-------------------- |
. |
|
|
|
)/ — Фгг). • • (Ф// — Фгг) |
|
При / = 1 Dji = 1 ; |
|
при /'=(' |
фГ(,.+1) = ф((;+1)= 1. Тогда для нулевых |
начальных условий уравнение |
(8.50) примет вид |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
P,,m(T)=V |
V |
{£§,ехр[-фг дт)]) ПФ,(Г+1). |
I8-53) |
|
|
;«0 /-=0 |
|
|
Г=0 |
|
|
а для произвольных начальных условий по уравнению (8. 49) |
|
|
п |
|
гп |
|
/ |
|
|
р яя, ( т ) = |
2 |
Ь ^0 ) |
2 |
l ' 0 |
? ' е х р f ~ '''rr l T ) H п t |
(r+iy |
l'8 - 5 4 ) |
|
J=о |
/=; |
|
r - J |
|
|
Фоо ~ Фи= Ф22== • • •~ф/т==‘ ■• — tymm= Ф-
Заппсанное условие имеет место тогда, когда интенсивность отказов обобщенной системы не изменяется при переходе из од ного в другое фазовое состояние, т. е. когда применен метод ре зервирования с постоянным коэффициентом форсирования.
В этом случае функции состояний определяются по зависи мости
Т |
= |
1 |
■х‘-J exp ( — ibt) |
r ( r + I ) - |
|
|
|
Вероятность |
исправной |
работы для произвольных |
началь |
ных условий |
|
|
|
|
|
Р„т (т) = |
y$ j |
\j (0) |
rl- Jехр ( - фг) X |
|
|
7=О |
1=0 |
|
|
|
|
X |
Г1 Ф/-(г4-1)’ |
|
(8. 55) |
|
|
|
r=j |
|
|
для нулевых начальных условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
р™Лт) = У Ц т г т'’ е)ф( |
П |
Фгсг+п- |
|
|
|
|
|
|
/=0 L |
|
J |
|
0 |
|
|
|
П р и м ер . |
|
П у с т ь |
и н т ен си вн ост ь о т к а з о в |
д л я д в и г а т е л е й |
и зм е н я е т с я |
во |
в рем ени так, |
как п о к а з а н о на рис. |
8 . 5 . О б ъ е к т |
за щ и т ы |
и м е е т 2 р езе р в н ы х |
о б о б щ е н н ы х |
си стем ы |
( т = 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
В е р о я т н о с т ь и спр ав н ой р а б о т ы |
т а к о г о |
о б ъ е к т а |
за щ и т ы в |
со о т в е т с т в и и |
с |
ф о р м у л о й ( 8 . 5 1 ) о п р е д е л и т с я по за в и си м о ст и |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р « . ( т ) — |
^ |
i |
j ( т *) |
$П ( т р — Г - ) = |
^ ( т * ) |
[Soo (Тр — т * ) + |
$oi |
( т р + т * ) + |
|
|
;=о |
/- j |
|
|
|
|
|
|
|
- f $02 (^р |
+ |
т *)] + 5, |
( т * ) [£, | (тр — |
т * ) + 5 |2 (т,> — |
т *)] + |
( т * ) £о 2 ( т р — т*). |
И с п о л ь з у я за в и с и м о с т и ( 8 . 5 2 ) , у с л о в н ы е |
в ер о я т н о ст и |
|
о п р е д е л я е м |
с л е д у ю щ и м о б р а зо м : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$о ( т *) = е х Р ( - Ф о о **) ' • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(т*} = |
[ехР ( ~ |
11"*) - |
ехР ( - |
+оох*)]5 |
|
|
|
|
|
оо — Ч п |
|
|
|
|
|
|
|
е х Р ( — ^оот * )
$2 (**)=» Ф«фЬ
|
е х р ( - ф* t T*) |
|
e x p ( — Ф и т » ) |
_ |
(^00— Ф1 l) (^22— ttl) + |
(Фоо— Ф22) (+11 — Ф22) |
J ’ |
$00 (Тр — Т*) = |
е х р [ — |
ф{Р> ( т р — х * )]; |
|
|
|
9(Р) |
|
|
|
|
$01 ( Т р — t s) = |
, ( Р) |
, ( Р) j e x p [ — Ф щ ^ Т р — т * )] — |
|
|
too |
Vi 1 |
|
|
|
|
— е х р [ — ф ^ ) (тр— |
**)]); |
|
|
- , . ) - |
rtprts> ! |
|
[ « ’- 4 ] |
+ |
е х р |
[ — Ф ^ Л т р — т * )] |
i |
е х р |
[ - Ф ^ ’ ( т р — т *)] |
+ ■ |
- W ] [ № - W \ |
|
|
|
У |
Щ |
|
|
|
|
$11 (Тр — Т*) = е х р [ — ф ^ (Тр — т * ) ] ; |
|
$12 ( т р — т * ) = |
Ф12> |
( е х р [ — ф ^ ( т р — т * )] — |
|
|
— е х р [ — Ф ^ О Т р — т * ) ] } ;
$22 ( т р — т * ) = е х р [ — ф ^ (Тр — т * ) ] .
Функции перехода в соответствии с формулой (8. 39) определяются такт
Vti = ( л —0(Х* + X*
, = ( л — 1 — «') [X* (1 — <7„) + Хл ,] ;
+(.1Р)=(П _ 0 [Х(Р) + Х^];
+{?-!) / = ( " - ! - '■) (Х!Р) (! - ?н) + ^ Р,!] .
где во всех зависимостях параметры с индексом «*» соответствуют участку О—т* (см. рис. 8.5), а с индексом «(р)» — участку х*—хр.
Зависимость (8.54) можно представить в другом виде:
п тп
Рлш (-c)=2S ^ (0) 2 |
(1 - |
?)'-Л |
(8. 56) |
/“о |
;=' |
|
|
|
гд е |
|
|
|
|
а _ (1 — <7н)| п Р б + 1 п (1 — Ял) . |
|
|
|
1 п Р б ( ! — |
Ял) |
|
|
3=ехр[(Х-|-Хл)т1)] = Рб(1 — дл )\ |
|
|
Ре — вероятность исправной работы |
двигателя |
(блока). |
|
При нулевых начальных условиях |
|
|
|
|
ГП |
|
|
|
Pi,m(*)= V Сур"-' (1 - ру. |
|
(8 . 57) |
|
1=0 |
|
|
|
Расчет вероятностей исправной работы объекта защиты поуравнениям (8.56), (8.57) в тех случаях, когда число фазовых состояний ъелико (много резервных двигателей), связан со зна чительными трудностями. Поэтому для расчетов, когда не тре буется высокая точность, например—при сравнении схем, можно использовать приближенные зависимости.
8.3.3. Приближенное решение системы уравнений
Как показано в работе [44], функцию состояния системы gj,(x) с большой точностью можно аппроксимировать зависи мостью
^(t)=qzpr п vr(t),
|
|
r=i |
где |
i = 0, 1, 2, ..., пг; / = 0 , 1, 2, ..., т . |
|
|
i-I |
При |
i — j |
П v2(t) = 1; |
|
|
r^j |
|
h 0 0 = Р , ( т ) 1[ — g a i ( т ) ] ; |
v r ( т ) = Р ^ л (,1 —— Р,-)( 1 — q n г); |
Pi — вероятность исправной работы блока в г-ом фазовом со стоянии.
В этом случае уравнение (8. 51) примет вид
п |
т |
/ — 1 |
P„„,lt) = V |
£у.(т*) V |
С;-^«-'Чтр- r i:) П vr (tp- T * ) , (8.58) |
; = 0 |
|
r =j |
где
Tj (т*)= С‘-'ф"-1’(г*) fj лу (т*). r=i
Когда опасность отказов постоянная в период 0 -^ т р, то урав нение (8. 58) запишется следующим образом:
т |
i —1 |
(8.59) |
P „ ( t ) = V C ; ? - |
П vr . |
<=0 |
r=О |
|
В том случае когда при выключении обобщенных систем от 1 до пг включительно, в остальных режим работы не изменяется, т. е. когда
^ло — ^‘Л 1----- --------- АЛ т — КЛ j >
<?1.0 Я,а ••• Янт Яи»
и при нулевых начальных условиях надежность объекта защи ты определяется зависимостью
т
(8.60)
/=О
где р= Ро(1— qn ) — надежность обобщенной системы;
у = (1 -—•Рб) <7п — ненадежность обобщенной системы; v =
=1—Р—Y-
Вуравнении (8. 60) сгруппируем члены так, чтобы одни со держали только вероятность исправной работы блока, а дру гие— ошибки работы системы аварийной защиты. Тогда
РЯ,« = 2 С 'Р » -Ч 1 |
- P eV/eCA3. |
i861) |
/=0 |
|
|
где |
|
|
* с а з = ( 1- Чл)"-‘ f 1+ — ЯЯ - |
V ‘ |
\ |
Я6 |
/ |
— коэффициент, учитывающий влияние ошибок работы системы аварийной защиты на надежность обобщенной системы.
В том случае когда система аварийной защиты идеальная, т. е. qn = 0 и 9„ = 0, /<сдз= 1 и вероятность исправной работы объекта защиты определяется зависимостью
т |
(8.62) |
P;;m= V C 'P r ' ( l —Рб)'. |
/=о |
|
Зависимость (8.62) совпадает с уравнением (8. 11), полученным для общего резервирования с постоянно включенным резервом.
8.4. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ ОБЪЕК-TA ЗАЩИТЫ
8. 4. 1. Максимальная надежность объекта защиты
Анализ уравнений (8.60) и (8.61) показывает, что вероят ность исправной работы объекта защиты зависит от надежности обобщенных систем, ошибок работы систем аварийной защиты и кратности резервирования.
Р о б т а л
Рис. 8.6. Зависимость вероятности |
Рис. 8.7. Зависимость мак |
исправной работы от характеристик |
симальной |
надежности |
от |
резервирования: |
|
числа систем и у |
|
------m=l; —X—т =2 ; — • — /71=3 ; |
|
|
|
|
|
-----ш=4 |
|
|
|
|
На рис. |
8. 6 представлены результаты |
расчета |
по зависимо |
сти (8.61) |
надежности объекта |
защиты |
для разных значении |
Рб, 9Л><7н при четырех кратностях резервирования а =1/30, |
2/30, |
3/30 и 4/30. Из рис. 8. 6 следует, |
что для идеальной системы ава |
рийной защиты надежность объекта путем увеличения кратности
