Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

для любого

у е У , то

операторы

Д

и А'1

называются взаимно

об­

ратными. Если оператор JT'

удовлетворяет

лишь одному из

условий

( 8 ) ,

( 8 0 ,

то он называется левым или соответственно

правым

об­

ратным для

оператора

.

Оператор, обратный к линейному, также является линейным.

Определение 15. Пусть А - линейный оператор. Рассмотрим

на­

ряду

с ним оператор

A-XJ,

где

А

- некоторый параметр, a

J -

тождественный оператор. Допустим, что для некоторого

Л

оператор

A-AJ

имеет ограниченный

обратный

( Л - Л 7 ) ! = А д

Тогда

это

значение А

называется регулярным

значением оператора А

. Сово­

спектром оператора А . Для регулярных

значений

Я однородное

уравнение

li-Ad)x-o

(9)

имеет

только тривиальное

решение

х = о

, а неоднородное уравне­

ние -

единственное решение.

Те значения Я , для которых уравнение (9) имеет решение, от­

личное

от

тривиального ,

называются собственными

значениями опе­

ратора

А

, а соответствующие им,

отличные от тождественного ну­

принадлежат J f , то множество Ж называется

компактным в себе, ес­

ли же эти пределы принадлежат пространству

X . не принадлежа .мо­

Пример компактного множества. Пусть 'Л -

множество функции

xfi)

е

С Сол],

которые

имеют непрерывные

производные

первого

порядка, ограниченные по

модулю фиксированной константой

МЫ

«

JU .

Множество Ж компактно в

Clojh

Это следует

из общего

призна­

ка

компактности множества

Л в пространстве

<С

(теоремы Ариела),

который формулируется следующим

образом:

Для

того,

чтобы множество

Ж с

С

Lo,i]

оыло компактным,

необходимо и достаточно, чтобы функции

x(i)ej{

были равномер­

но ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение 17. Линейный оператор

А

, определенный на линей­

ном нормированном пространстве

X , с областью

значений,

располо­

женной

в линейном нормированном пространстве

Y

, называется впол­

пространства

X в компактное множество пространства

Y.

Пользуясь теоремой Арцела, легко показать, что оператор

~Л ,

определенный

формулой ( 6 ) , с непрерывной функцией

Ж(з,{)

явля­

ется вполне непрерывным оператором, действующим из

С с о, п

в

С ЮЛ.

собственные значения

вполне

непрерывного

оператора заключены на

отрезке

[ - l l J l / ,

lAl

J

и,

в случае счетного спектра, имеют един­

ственную предельную

точку

А =

о.

Определение 18 . Пусть Л

-

нелинейный

оператор, действующий

из линейного нормированного

пространства

X в линейное

нормиро­

ванное пространство

Y.

Если для фиксированного

х„е X

и любого

he X

, существует

линейный

оператор

JteJ

[X—^Y]

(вообще

говоря,

зависящий

от

х.)

такой,

что

Jllx0 + h}

- Д(х.)

=

J'frjk

+tj(xo,h),

I ы(х„ h) I

_

Q

llhl

fl/ij—о

'

то оператор

Л (xj

называется

производной

Фреше (сильной про­

изводной) оператора Л

, вычисленной в точке

эс0 .

Производная нелинейного оператора

играет

такую же вакную роль

как и производная обычной функции.

Пример. По отношению к нелинейному оператору А,

определяемому

формулой:

i

Л(х)

= j Ji(s.t)X^S)

ds ,

о

и действующему, в случае непрерывного ядра

Tils,

I)

из

С Ю, fl в

Cio.il,

производная Фреше на элементе

x0 fs) е

Ссо.п

су­

ществует

и задается

равенством

Ах=у

( I )

где i 1 | - элементы некоторых метрических пространств

X

и Y.

По отношению к уравнению ( I ) польским математиком С.Банахом

был

Т е о р е м а

Б а н а х а .

Пусть в полном метрическом

пространстве X дан оператор Л,

переводящий элементы пространст­

ва X

в элементы этого же пространства. Пусть,

кроме" того, для

всех

xt, xz

е X

р(Лх„Лхг)

4

o t j o f x , , ^ ) ,

(2)

где

d. < i

и не

зависит

от ос1

, зсг . Тогда существует одна и толь­

ко одна точка

х„

такая,

что

Лх0=-х0.

Точка

х.

называется неподвижнойточкой оператора Л .

Доказательство этой

теоремы можно найти в различных курсах

функционального анализа

(см.,

например, [ 9 1 ] ) ,

а также некоторых

курсах дифференциальных уравнений (см. [ I I I ] ) . Учитывая важность

этой теоремы для дальнейшего

изложения курса, мы приведем здесь

ее доказательство.

Возьмем произвольный элемент

х е X

и построим последова­

тельность

fo}

с помощью процесса:

Х , = Л х ;

Х а « Л ж 1 ;

Х 3 ==ЙХ 1 ;

. . . ; « „ - - Д х ^ - , ...

Докажем, что последовательность

{ х „ }

сходится в себе. Оценим для

тельности,

используя неравенство (2):

jD(X,,Xi)= J)(JlxJxJ

«

A-ffaXj;

J)(X2,X3)=

j)(dxitJlxJ

< A-J>(X„Xj

< 0?J)(X,Xt)

;

J>lX3,^)=JiUxi,Ax3)

<S 0LJ>(Xt,X3)

< CL3-J>(XfXt) ;

Пусть теперь т и

п -

любые целые положительные числа,

связанные

условием m > п.. Тогда,

в силу неравенства

треугольника,

находим

4 ( л "

+ а " ' +

. .. + а"1 -')-^(«.х.) = ^ _ ^ • JD(OC x j .

Отсюда, при

n , m — с л е д у е т

j 5 ( x n , x m ) — ~ о ,

а это и озна­

X

по условию теоремы

полное, то сходящаяся в себе последова­

тельность

{xnJ

сходится к некоторому

элементу х о е Х . Покажем,

что

^ х 0 = х „ .

Действительно,

^ ( х . , Лх„)

« f(xc,xn)

+ j3(x„Jx„)

=

"

f K , ^ J

+j>(Axn-„ Лхл) <

jofx„, x j + <x J)Lx„.t, x„) .

Возьмем теперь любое

e>o . Из сходимости последовательности

{х^|

к

элементу

х„

следует,

что найдется

такой номер Л , что

при

n>J\f

выполнены неравенства

f

< а/г ,

j3lx„x„J

< % .

Тогда

из предыдущего неравенства следует

f(x0,lx0)<a.

В силу произвольности

е

заключаем,

что

j>lx„,Jlxo)=01

то

есть

ctfac; =oc0 .

Покажем, теперь, что элемент

а;

единственный. Допустим, что

существуют два элемента

х0 '

и

д£ ,

удовлетворяпцив

равенствам

Тогда

Последнее неравенство при <х<*

имеет место только в случае,если

х ог )= °>

то есть

осо '= х * .

Итак,

мы доказали, что оператор

А

имеет

едлиственную непод­

вижную точку. Переходя в формуле

(3) к пределу

при т - » ~ > ,

полу­

чим формулу, дающую оценку ошибки п -го приближения:

ffrn,K)

^

- j r s ; -

fix,

Ах).

(4)

Замечание. Довольно часто приходится рассматривать оператор

А. такой, что неравенство

(2) выполняется не во всем пространст­

ве

X

. а

лишь в некоторой замкнутой

окрестности точки Я.. Пусть

эта окрестность -

замкнутый яар радиуса г

с центром в точке 5с .

Обозначим его через

Six. х).

Принцип сжатых отображений

остается

в

силе при условии, что оператор

А

отображает шар

5(й,г)

в се ­

бя. При этом последовательные

приближения

хп е S(x, г)

я рассуж­

дения, приведенные выше, сохраняются. В частности, если

^)(х,Л$)«гй-а).то оператор

А , удовлетворяющий

условию

(2) , пере­

водит шар

5(5,-г)

в себя. Действительно, для любого

х е

Б(х,г)

jj(x,Ax)

<

j>(Jlx,Axl

+ JJ(Ах,

х) *z

а

это и означает, что оператор о? осуществляет сжатое отображе­

ние шара

S(xt%)

на себя. Поэтому в силу

принципа

С.Банаха,

оператор

Л

имеет в шаре

5[х,%)

единственную неподвижную

точку.

При исследовании задач математической физики их часто

сводят

к интегральным уравнениям, когорне эквивалентны исходной

задаче.

Мы приведем здесь

неоколько примеров применения принципа

сжатых

отображений по отношению к различным интегральным уравнениям.

I .

Рассмотрим на отрезке

[о, ± J

интегральное уравнение Фред-