Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

пиис

\xji)-xli)

| <

£ ,

а это и означает

равномерную по i

на отрезке [ 0 , l ]

сходимость

последовательности к функции

x f f l .

2„ Рассмотрим теперь множество X

-всевозможных функции x(i)t

имеющих на отрезке

[0,1] I

непрерывных производных:

х""Ш,

x'iD,

х'Щ ...

, х("(1).

Определим расстояние между эле­

ментами этого

множества по формуле

i

max I xMU) - « w №

p(x,yhZZ

| .

(2)

Аксиомы метрики

Ь)-3)

при этом также выполнены. Функциональное

пространство,

отвечающее метрике

(2) , состоящее из функций, имею­

щих непрерывные

производные до порядка

I

включительно, обознача­

ется

символом

С

[ 0 , 1 ] .

3. Пусть X

-

множество всех функций

эс(-0 , суммируемых на

отрезке fo,l]

со степенью п . Полагая

pix,y)=

J j\xlti-yll)\pdx)

Р

(3)

о

(j|^)-y|«|pcfe)*4 (] )x(l)\PdxfP+

[]\f)\?dxf

о

стве меры нуль, считаются тождественными.

4 . Пусть X

- пространство

всех функций, определенных на от­

резке [ 0 , l ]

и суммируемых со

степенью р вместе с производными

до порядка I.

При этом, вводя метрику на множестве X с помощью

формулы

i

P

^

-

f

l

S

^ - y

^ r

,

(4)

о

получаем функциональное

пространство

W '

введенное

в рассмотре­

ние С.Л.Соболевым.

Существует и много других функциональных пространств,

но мы

ограничимся

приведенными примерами.

Определение

5.

Последовательность элементов {хп}

метричес­

кого пространства

X

называется сходящейся в себе

или фундамен­

тальной последовательностью, если для любого числа

£>о

найдет­

ся номер W7E)

такой, что

при любых

п., m > Ж(£)

расстояние

j 3 f x „ , x j < e .

Определение

6.

Если в метрическом пространстве

X

каждая

полнить за счет введения функций, имеющих обобщенные

производные

I порядка,

суммируемые со степенью р . Пополненное

таким образом

пространство

является полным и обозначается через W p .

Определение 7. Функциональное пространство называется линей­

ным, если для него выполнены обычные, для линейного

векторного

Пространства

<Г, С '

\Ip

являются линейными.

Определение

8. Если линейное

пространство является в то же

В линейном метрическом пространстве X

вводится понятие нор­

мы элемента х (обозначается Их||) следующим

равенством

||xl!=

p\0i,O).

В этой

формуле

через о

обозначен нулевой элемент линейного мно­

жества

X . Норма элемента удовлетворяет условиям:

1)

llxi>o,

причем

/|£Ц=с, лишь если х = о ;

вом тша В . Пространства С,

С

, Lp

являются

пространствами

типа В. Введем теперь понятие функциональной

зависимости.

Определение 10 . Пусть даны два произвольных множества X и

Y

и дан закон, по которому каждому

элементу х е Х

ставится в

соот­

ветствие единственный элемент

ye Y .

Будем говорить в этом

случае,

что задан оператор у=Дэс, определенный на множестве X

, с

об­

ластью значений, расположенной в множестве У

. Говорят

также,

что

задано отображение множества

X

на множество

Y .

В том

случае,

Элемент уе У

, соответствупций элементу х е X , при отображе­

нии посредством

оператора Л , называется образом элемента ос , а

странстве Y .

Тогда

оператор

Л

называется линейным,

если:

1)

этот

оператор аддитивен:

то есть для всех зг,

и эсг

ия X

имеет

место

равенство

г)

оператор J

однороден,

то

есть для всех х е Х

и любых ве­

щественных

Л

(если

вещественно X ) или комплексных А (если

X

комплексно):

= Я / х .

МЫ

yU)=

\ J[{s.i)-x(s)

ds

(5)

где

ЛIs. i) -

непрерывная

в квадрате

o « s , 4 « i

функция. Тогда

если

xeC[o,il

то.очевидно, yeC[o,ij.

Выполнение условий I )

и 2)

определения

I I здесь очевидно. Следовательно,

оператор

J x

=

_[ Xu,i)-x(s)

ds

(6)

о

действующий

из пространства

С [о,Л

в пространстве С to,i)

яв­

ляется линейным.

Определение 12. Оператор

Л,

определенный на метрическом про­

странстве У

с областью значений

в метрическом пространстве

Y ,

стоянная М

, что для

любого

х е

X

УхП

4 Л-1хЦ

(7)

Здесь

Jx II

берется в

смысле

метрики

пространства

X

,

а

ИЛхЦъ

смысле

метрики пространства

Y.

Нетрудно убедиться в том, что линейный оператор Л , определя­

емый формулой (6)

с непрерывной

в квадрате о й s, i Й 1

функцией

J{{s, I)

является

ограниченным. Действительно,

из

(5) находим:

та/х

lyflll

<

nwux lJits,l)l

• maa

\x(S)\ .

о «. t * i

O t S . l i i

О <.S: i

Выбирая

Ж = moux

IJ{(S,l)l

О IS,

l 11

'

получаем

llpc

^JUlxilci

tft-Mxlc

,

что и означает ограниченность оператора Л . Символ

llxllc

означает

здесь,

что

норма берется

в метрике пространства

С

[о,О.

Можно показать, что в случае

оператора

(6) норма его в Cro.fl

определяется формулой

i

IIЛII = mwx

\\7i(s,{)

\ ds .

oi Ы

1 о