Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

взаимное положение.

Рассмотрим

эти

геометрические усло­

вия. Пусть даны плоскость Q и прямая линия MN

(рис.

92).

Если через MN

провести

какую-либо

произвольно

располо­

женную плоакость Р, то плоскости Р и Q пересекутся по ли­

нии AB,

общей для Р и Q. Рассматривая теперь взаимное по­

ложение

прямых

линий AB

и MN,

можно установить

сле­

дующие

условия:

1) заданная прямая MN лежит в

плоскости

Q,

если

ли­

нии AB

и MN

совмещаются

(т. е. все их точки общие);

2) прямые

AB и M2N2

имеют одну

общую точку К. Сле­

довательно,

M2N2 и

плоскость

Q

взаимно

пересекаются

Рис.

92

Рис. 93

Прямая

линия

принадлежит

плоскости

Выше

уже

было

отмечено: если

прямая

линия

принадле­

жит плоскости,

то она должна

иметь

с нею

по крайней

мере

две

общие

точки. Линия

AB

(a,

b;

а',

Ь')

принадлежит

пло­

скости Р, потому что следы ее V и H (две точки) лежат на

следах

Рѵ

и Рн (рис. 93,а). Отрезок прямой

линии

EF

(е,

/;.

е',

/')

принадлежит

плоскости

Т,

потому что

концы

его

е,

е'

и /, /'

лежат на горизонталях плоскости Т

(рис.

93,6).

Прямая

линия

и плоскость

взаимно

параллельны

Из третьего условии, сформулированного выше, следует,,

что

прямая линия

параллельна

плоскости,

если

она

парал­

лельна

какой-либо

другой

прямой

линии,

принадлежащей

этой плоскости.

На

рис. 94

линия

MN

параллельна

плоско­

сти

Р,

так как

в

последней

имеется

линия

AB,

параллель­

ная

MN.

Рассматривая

проекции

прямой

и

плоскости,

это

условие можно сформулировать так: прямая MN

параллель­

на плоскости Р, если проекции

ее m, п и п', т' соответственно

параллельны одноименным проекциям a, b и а', Ь'

прямой

AB,

принадлежащей

плоскости

Р

(рис. 94, б).

Пусть

будет

дана

задача:

через

точку Т (t,

t')

провести

прямую

линию

MN

(m, п;

m', п'),

параллельную

заданной плоскости

Р.

На

горизонтальной (либо

фронтальной) плоокости проек­

ab,

конец а которой лежит на следе

Pu, а конец

b — на оси

ОХ.

Положение фронтальной проекции а'Ь' определено поло­

жением горизонтальных проекций а

и Ь. Через

горизонталь-

Рис. 94

ную проекцию t проводят отрезок тп

|| ab,

а

через

фронталь­

ную проекцию f

— отрезок т'п'\\а'Ь'.

Прямая

линия MN

параллельна плоскости Р, так как mn\\ab

и

т'п'\\а'Ь'.

Прямая

линия

и

плоскость

пересекаются

Еісли у прямой

линии

и

плоскости

имеется общая точка,

щую

плоскость;

2)

построить линию пересечения вспомогательной и

задан­

ной плоскостей;

х

задан­

3)

отметить точку пересечения построенной линии с

ной — искомую точку

пересечения.

Рис. 95, а наглядно

иллюстрирует этот способ. Линия AB

пересекает плоскость

R в точке К. Для ее построения

через

нию пересечения /,

2

.плоскостей R и

Q. Точка К

является

местом пересечения AB с линией

1, 2.

Из множества возмож­

ных в

пространстве

положений

плоскостей и прямых линий

выделим

характерные.

Прямая

линия

и

плоскость

имеют

общее

положение.

На рис. 95, б даны

проекции

ab и а'Ь' линии AB и следы

Rh и Rv

плоскости

R.

Построить

точку

пересечения

линии и

Рис. 95

тальные следы Qh и Rh пересекаются в

точке

/. Фронтальные

следы Qvsa Rv пересекаются

в точке 2';

горизонтальная

про­

екция линии пересечения /,

2 .сшивается

со следам

Qh и не

дает искомой точки. Фронтальная проекция

2' пересекает

одноименную проекцию а'Ь'

в точке k',

являющейся

фрон­

тальной проекцией искомой

точки. Горизонтальная

проекция

k спроецирована на ab. Часть прямой линии ak, a'k'

располо­

жена над плоскостью R и видима, нижняя ее часть

kb,

k'b',

расположенная под плоскостью, невидима. Здесь

плоскость R

имеет одностороннюю видимость. На

рис. 95, а

видна

верх­

няя поверхность R, поэтому

виден и

отрезок АК,

располо­

расположенный

<со стороны нижней, невидимой, обращенной

к оси ОХ поверхности плоскости, невидим на

обеих

проек­

циях. Вспомогательную плоскость Q следует проводить пер­

пендикулярно

к плоскостям Я, V или W. В

общем

случае