Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.06.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

пересекает одноименную проекцию be в точке k, которая про­ ецируется на фронтальную проекцию Ъ'с'. Сторона ВС пере­ секает треугольник DEF в точке К (kk1). Линия пересечения (tk, t'k') определилась по пересечению двух сторон треуголь­ ников. Проверка стороны DE поэтому не нужна. Видимость частей треугольников на проекциях определяется по конку­ рирующим точкам 5 и 6. Точка 5' на с'Ь' располагается выше точки 6' на d'Y, поэтому она находится ближе к главу наблю­ дателя и ее горизонтальная проекция 5, а с нею и отрезок kb

стороны ab будут

видны. Следовательно,

вое,

граничащее

с отрезком kb до tk, а именно часть треугольника

bâta,

долж­

но быть показано

видимым, как на рис. 101. На фронтальной

проекции «конкурируют на видимость точки

І1 на стороне

d'e'

и 7' на стороне а'с'. На горизонтальной проекции

видно, что

точка 7 находится дальше от плоскости V и ближе к глазу

наблюдателя, поэтому ее фронтальная проекция

7' на a'f

и

часть фронтальной проекции треугольника a't'k'b'

изобра­

зятся как видимые. Все примеры на пересечения,

рассмотрен­

ные выше, были решены 'способом вспомогательной секущей

плоскости,

проведенной через

сторону как прямую линию.

Их можно

было

бы решить

общим способом — с помощью

общего элемента

трех плоскостей. Однако этот способ трудо­

емкий и здесь мало нагляден.

 

Пересечение треугольника с прямоугольником. Плоскость прямоугольника (рис. 102) горизонтальяо-щроецирующая, поэтому горизонтальная проекция его mnkl, как след Рь. про­ ецирующей плоскости Р, разрезает все, что с ним встре­ чается. На горизонтальной проекции видно, что проекции сторон ас в точке / и be в точке 2 пересекают проекцию прямоугольника.

Проецирование

точки

/ '

на

а'с' и 2' на

с'Ь' дает

фрон­

 

тальную

проекцию

2'

линии

пересечения.

Часть

горизон­

 

тальной

проекции

а, 2,

1, b

треугольника расположена

перед

 

прямоугольником

и ближе

к

глазу

наблюдателя,

поэтому

 

фронтальная проекция a'l'2'b' будет изображена как

видимая.

 

Здесь плоскость

треугольника

полностью

пронизывает пря­

 

моугольник. На

рис. 103, а изображены

треугольник

и

прямо­

 

угольник, врезающиеся один в другой. Горизонтальная про­

 

екция nk стороны треугольника в точке / пересекает проек­

 

цию прямоугольника aedb,

так

как последний

перпендикуля­

 

рен к плоскости H и проецируется в виде линии. Очевидно,

 

если плоскость

прямоугольника (его горизонтальную

проек­

 

цию abed) продолжить

до пересечения

в точке 2 с проекцией

*

тп, то он полностью рассечет

треугольник

по линии,

гори­

 

зонтальной проекцией которой является отрезок 1, 2. Проеци­

 

рование 1' на n'k',

а 2'

на т'п'

дает фронтальную

проекцию

 

линии полного сечения.

 

Но

последняя

пересекает а'Ь'

в точ-

 

7

97

ке 3' и линия пересечения фигур должна

закончиться

в точ­

ке 3, 3'. Таким образом, линия 3, 1; 3', Г

есть искомая

линия

пересечения.

 

 

Рис. 102

 

Рис.

103

На

рис.

103,6

изображен

второй

способ построения

рис. 103, а без

линий построения

и невидимых частей фигур

с целью

придания

изображению

большей

наглядности.

§ 21. Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

Выше было отмечено, что прямая может пересекать пло­ скость и под углом в 90°. В чертежах, в практике проециро­ вания часто приходится изображать прямые линии, перпен­ дикулярные к любым произвольно расположенным в' про­ странстве плоскостям. Кроме того, ряд задач на определение кратчайших расстояний между точкой и плоскостью, между двумя плоскостями, проецирование ребер, образующих и вы­ сот геометрических тел, расположенных перпендикулярно к наклонным плоскостям, также решается в зависимости от геометрических свойств расположения проекций перпендику­ ляра и плоскости. Рассмотрим, как будут располагаться проекции линии, перпендикулярной к плоскости, заданной любым способом и расположенной как угодно.

Как уже известно, прямой угол проецируется прямым на ту плоскость проекций, на которой или параллельно которой расположена хотя бы одна сторона этого угла. Воспользуем­ ся этим свойством. Пусть имеются плоскость R общего поло­ жения и отрезок MN прямой линии, перпендикулярной к пло­ скости R (рис. 104,а). Через точку А^, служащую основанием перпендикуляра, в плоскости R можно провести множество линий, и все они будут составлять с MN прямые углы. Одна­ ко при проецировании прямой угол между MN и любой из

98

этих прямых искажается и на чертеже не будет доказательств взаимной перпендикулярности MN и R. Если же через осно­ вание перпендикуляра — точку N провести характерную ли­ нию, т. е. горизонталь AB либо фронталь CD, то проекции их на одной из плоскостей проекций, а именно на той, которой они параллельны, будут составлять прямой угол с проекцией перпендикуляра MN.

Пусть на

рис.

104,6

даны следы

Rh и Rv плоскости

R.

На плоскости

R

задают

основание

перпендикуляра — точ­

ку N ее горизонтальной проекцией п. Через п проводят про­

екцию фронтали de II ОХ,

а фронтальная ее проекция c'd' ||

Rv.

Рис. 104

На проекцию c'd' проецируют п'. Через п' проводят фрон­ тальную проекцию а'Ь' || ОХ горизонтали, а через п — гори­ зонтальную проекцию ее ab \\Rh- Теперь основание перпенди­ куляра — точка пп' лежит в плоскости R на пересечении горизонтали и фронтали. Так как прямой угол проецируется прямым на ту плоскость проекций, параллельно которой рас­ полагается одна сторона его (здесь горизонталь), то горизон­

тальная

проекция

тп перпендикуляра

будет перпендикуляр­

на к горизонтальной проекции ab

горизонтали. Проводят

mnLab.

Но ab\\Rh,

тогда mn±Rh, т.

е. горизонтальная про­

екция перпендикуляра составляет угол в 90° с одноименным

(Rh)

следом

плоскости. Очевидно, что проекция

т'п'

будет

составлять угол 90° с фронталью

c'd'

и со

следом Rv

плоско­

сти. На

основании

всего

сказанного

можно

вывести

общее

положение: если

прямая

линия

в

пространстве

перпендику­

лярна

к

плоскости,

то проекции

этой линии

 

перпендикулярны

к одноименным

следам

плоскости

либо

к

проекциям

гори­

зонтали

и

фронтали,

параллельным

 

следам

плоскости

(рис.

104,6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

Если теперь необходимо построить проекции линии AB, перпендикулярной к плоскости Р (рис. 105,а), то на основа­ нии только что сформулированного общего положения сле­

дует в любом месте на плоскости проекций провести

отрезок

aè-LPh

и а'Ь' LP ѵ,

не задаваясь

вопросом

о величине

перпен­

дикуляра и его основании.

Если

же

на

плоскости R

(рис. 105,6) дана точка N

(пп')

— основание

перпендикуля­

ра,

то,

проведя,

например,

горизонталь

ab, а'Ь' и

располо­

жив

на

ней пп',

получают

проекции

перпендикуляра

mn±Rh

иm'n'LRv.

Рис. 105

В случае задания плоскости двумя параллельными либо пересекающимися прямыми линиями (рис. 106) проекции перпендикуляра следует проводить под прямым углом к одно­ именным проекциям фронтали и горизонтали. Пусть пло­

скость задана треугольником abc, а'Ь'с',

где ck, c'k' — проек­

ции

горизонтали и ае,

а'е' — проекции

фронтали. За

основа­

ние

перпендикуляра

принимается

пп'

— точка пересечения

горизонтали и фронтали. Проводят

mnLck и m'n'La'e'.

Зная

расположение проекций перпендикуляра к следам и к проек­

циям горизонтали и фронтали, можно решать любые

задачи

на определение кратчайших расстояний. Так, на рис.

106,6

даны следами Рн, Рѵ плоскость и отрезок ab, а'Ь' прямой ли­ нии, перпендикулярной к плоскости Р, конец которой аа' рас­

положен на оси ОХ. Если необходимо определить

расстояние

от точки В

(W) до плоскости

Р,

то

проекции

расстояния

располагаются в виде abLPh

и

а'Ь' LP

ѵ. Для

определения

основания

перпендикуляра

(точки

пересечения

AB с пло­

скостью Р) следует воспользоваться способом вспомогатель­ ной секущей проецирующей плоскости. Для этого необходи-

100

Смотрите также файлы