Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

В пространстве плоскости пересекаются под любыми углами. Для практики проецирования представляют интерес плоскости, пересекающиеся (или расположенные) под пря-

сти. Очевидно, что следы плоскости будут проходить через следы перпендикуляра. Но через перпендикуляр, как через линию, можно провести бесчисленное множество плоскостей,

проекции отрезка до пересечения с осью ОХ, получают тем самым проекции фронтального ѵѵ' и горизонтального hh' сле­

ные положения точек схода следов каких-то случайных пло­ скостей RiRzR3- • • из бесчисленного ряда возможных. Из ска-

101

занного следует, что положение следов искомой плоскости будет определяться: а) следами перпендикуляра; б) произ­ вольно выбранной на оси ОХ точкой схода следов.

Рис. 107

Пусть на рис. 107,6 даны следами плоскость Q и точка А (аа'). Требуется через точку А провести плоскость R, пер­ пендикулярную к плоскости Q. Через горизонтальную проек-

102

плоскости R, перпендикулярной данной плоскости Q. Очевид­ но, плоскость R — одна из многих возможных для построения

Г Л А В А I I I

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

§ 22. Общие положения

Задачи, рассматриваемые в начертательной геометрии, могут быть разделены на позиционные и метрические.

Позиционные — это задачи, связанные с проецированием геометрических элементов на выбранные плоскости проекций и определением положения их относительно плоскостей про­ екций, а также задачи, связанные с определением взаимного положения геометрических элементов друг относительно друга. Выше были рассмотрены приемы решения этих задач.

Метрические задачи связаны с измерением тех или иных геометрических величин: определение расстояний, углов, формы и размеров фигур и т. д. Решение этих задач на эпю­ ре, где геометрические элементы находятся в общем, произ­ вольном расположении относительно плоскостей проекций, связано во многих случаях с большими трудностями. Иллю­ страцией этого может служить пример на определение рас­

отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, длина которого ограничена точкой пересечения его с прямой.

Так как в первых двух случаях ВС параллельна плоско­ сти V, то прямой угол между искомым отрезком АК. и пря­ мой ВС будет проецироваться на плоскость V без искаже-

103

ких построений: потребовалось через точку А провести пло­ скость Р, перпендикулярную ВС; затем определить точку К

X

Рис. 109

В последних двух случаях необходимо еще искать вели­

элементы находятся в частном положении относительно пло­ скостей проекций, то решение метрической задачи на эпюре значительно упрощается.

Сравнение, например, решения задачи на построение точ­ ки пересечения прямой линии с плоскостью (см. рис. 95 и 97) говорит также о том, что если геометрические элементы на­ ходятся в частном положении, то упрощается решение и мно­ гих позиционных задач.

Чтобы от двух последних случаев (см. рис. 109,6 и в) перейти к первому (см. рис. 109,a), a от случая на рис. 95 к случаю на рис. 97, необходимо изменить положение геомет­ рических элементов относительно плоскостей проекций, со­ хранив их взаимное расположение.

104

Это может быть сделано двумя различными способами: 1) путем перемены плоскостей проекций при неизменном:

положении геометрических элементов в пространстве; 2) путем вращения геометрических элементов при неиз­

менном расположении плоскостей проекций.

§ 23. Способ перемены плоскостей проекций

Сущность этого способа состоит в том, что одна из пло­ скостей проекций заменяется новой плоскостью проекций,, удобно расположенной по отношению к заданным геометри­ ческим элементам. Так как начертательная геометрия зани­ мается изучением метода прямоугольного проецирования на.

взаимно перпендикулярные плоскости проекций, то, естествен­ но, новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одной из. старых плоскостей проекций.

Следовательно, заменять плоскости проекций можно толь­ ко последовательно, сохраняя их взаимную перпендикуляр­ ность.

Установим закономерности, которым подчиняется построе­ ние проекций точек, как простейших составляющих элемен­ тов любой сложной геометрической формы, на вновь выбран­ ной плоскости проекций.

рых является ось X. Так как буква Я написана внизу, то это означает, что при получении развернутой системы коорди­ натных плоскостей плоскость проекций Я совмещена с пло­ скостью чертежа вращением вокруг оси X сверху вниз. Если

105

бы плоскость Я вращали снизу вверх, то обозначение систе­ мы плоскостей, определивших ось X, было бы ѴН.

Фронтальная а' и горизонтальная а проекции точки А на эпюре лежат на одном перпендикуляре к оси X.

Заменим, например, плоскость проекций V новой пло­ скостью Vi, перпендикулярной Н, как показано на рис. ПО, а. Линия пересечения плоскостей Vi и Я есть новая ось проек­ ций Х\.

Чтобы построить проекцию точки А на новой плоскости проекций Ѵ\, нужно, как это делали и раньше, из нее опу­ стить перпендикуляр на плоскость Vi и отметить точку пере­ сечения его с ней а/ .

Для получения эпюра точки А в новой системе Н/Ѵі пло­ скость Vi вращаем вокруг оси Хі в направлении, указанном стрелками, до совмещения с плоскостью Я, которая в свою

ние точки А и плоскости проекций Я не изменилось, то не

точки Л в новой системе ѴУЯЬ На рис. 110,6 это отразилось

ко сформулировать закономерность перехода от одной систе­ мы плоскостей проекций к другой и построения при этом проекций точки: при замене одной из старых плоскостей про­ екций новой плоскостью расстояние от проекции точки на новой плоскости проекций до новой оси проекций остается

106

равным расстоянию от проекции точки на старой плоскости

ций ХІШ Для нахождения второй точки в плоскости Р строим гори­

зонталь, фронтальный след которой, как известно, лежит на

чаем новую горизонтальную проекцию ѵ и а в проекционной

107