Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Известно, что если прямая параллельна

одной

плоскости

проекций, например Vi,

то на другую, перпендикулярную ей

плоскость H она проецируется в прямую, параллельную оси

проекций. На этом основании новая ось Хі

системы Н/Ѵі

про­

ведена параллельно проекции ab. Обычно

ось

проводят

на

произвольном расстоянии от ab или даже

через ab,

но

так,

чтобы

построения

размещались

в свободном месте

чертежа,

не накладываясь друг на друга.

С

учетом равенства

отмеченных

штрихами

отрезков

по­

строена

новая

проекция aîb{

отрезка,

равная

его

величине,

и найден

угол

а

наклона его

к плоскости

проекций

Н.

П р и м е р

2.

На рис. 113 задана плоскость Р общего по­

ложения

своими

следами Ph и Рѵ.

Требуется определить угол

наклона ее к плоскости проек­

ций V.

Как

известно,

угол

накло­

на плоскости к плоскости про­

екций V равен углу между го­

ризонтальным

следом

и осью

X, если эта плоскость является

горизонтально

-

проецирующей

(см.

рис.

64).

Следовательно,

необходимо

заменить

пло­

скость

H

новой

плоскостью

проекций

Ни

перпендикуляр­

Рис. 113

ной к заданной

плоскости. Но-

вую

ось

проекций

Хі

системы

V/Hl

проводим

перпендикулярно

к

следу

Рѵ. Через новую

точку схода следов Рхі

и через

новую

проекцию

hi

нового

следа

фронтали

на плоскости Hi проводим новый след Рм-

Отмеченный угол ß есть искомый.

плоскости Р

Если

бы требовалось найти

угол

наклона

к плоскости проекций Н, то следовало бы плоскость Р

сделать

фронтально-проецирующей, заменив плоскость V новой плос­

костью

Ѵ ь

перпендикулярной

плоскости Р.

в плос­

Возвращаясь

к

рис. 113,

отметим,

что

фронталь

взять 'новую плоскость Vi,

перпендикулярную плоскости

Р,

то она будет

параллельна

перпендикуляру, опущенному

из

точки А на плоскость Р.

Так как в

системе Н/Ѵі

плоскость Р становится верти­

кулярно

следу Ph

(см. рис.

114).

Воспользовавшись точкой

V (ѵ, ѵ')

— фронтальным

следом

горизонтали плоскости

Р,.

построим новый след Рѵ\

на

плоскости Ѵ\. С учетом равен­

ства а'ах=а\'ах\

построена

проекция а/ .

Перпендикуляр,

проведенный из а /

на Рѵ\,

при пересечении с ним в точке

k{

определит основание его

на

плоскости Р,

а

отрезок

ax'kxr

будет искомым расстоянием от точки А до

плоскости Р.

Проекции этого расстояния

ak и a'k'

в старой

системе

V/ff

построены следующим образом: из точек а и а'

под

прямым

углом соответственно к следам Ph и Рѵ

проведены

проекции

перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость Р, а

за­

тем в проекционной связи с kx

получена

точка

k и

в проек­

ционной связи с ней — точка k'.

Угол а, отмеченный на

рис.

114 между РѵХ

и осью Хх,

есть

угол

наклона

плоскости

Р

У

к

плоскости

проекций

И,

так

как

плоскость

Р в

си­

стеме Н/Ѵі

преобразована

в

вертикально - проецирующее

положение

(см. также

пре­

дыдущий

пример).

Рис.

114

Рис. 115

П р и м е р 4. На рис.

115 изображены плоскость Р (Ph

и

Рѵ)

и прямая AB (ab, а'Ь').

Требуется определить точку их

пере­

сечения.

Известно, что

если

плоскость является проецирующей,

то

ляется

без каких-либо вспомогательных построений (см.

рис. 97).

Поэтому выбираем новую плоскость проекций Ѵх

П р и м е р 1. На рис. 116 заданы точка А и

прямая ВС

своими проекциями. Найти расстояние между ними.

Выше было проанализировано решение этой

задачи в за­

ских

элементов (см. рис. 109)

и

показано,., что

самым

про­

стым

был

случай,

изображен­

ный

на рис. 109, а.

Чтобы

в

данном

примере

X

получить

положение

проекций

прямой ВС и точки А, сходное

с

рис. 109, а,

необходимо

взять

новую плоскость проекций пер­

пендикулярно

прямой ВС. Но

так как ВС

есть

прямая об-

щего

положения, то

плоскость,

перпендикулярная

ей,

будет

Р л с - 1 1 6

тоже

общего

положения,

т. е.

проекций V, а значит,

принять

ее за плоскость проекций

мы

не можем. Нужна последовательная перемена

двух

плоско­

стей

проекций

так,

чтобы

вначале

получить

ВС

и

А

в положении, сходном

с

рис. 109,6, где ВС

станет

парал­

лельной плоскости проекций, а затем

после

перемены

вто­

рой

плоскости

получить

ВС

и Л в

положении,

сходном

с рис. 109, а.

Итак, от системы VIH

(см. рис. 116)

переходим к

системе

Н/Ѵі,

где Vi параллельна

ВС,

и строим

проекции

Ь/с/

и

а /

прямой и точки

(подробнее см. § 24, пример 1, рис. 112). За­

видим, что отрезок агкі

будет искомым расстоянием. В проек­

ционной связи получены проекции kx', к и k'

точки К и,

сле­

довательно, проекции a,\k\, ak и a'k' искомого

расстояния

АК

сначала в системе HjVu

а затем в системе VfH.