ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.06.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 1
П р и м е р 2. На рис. 117 |
изображен |
своими |
проекциями |
|
abc и а'Ь'с' |
треугольник ABC |
общего положения. Найти его |
||
величину. |
|
|
|
|
Решение этой задачи также требует |
двойной перемены |
|||
плоскостей |
проекций, так как плоскость, |
взятая |
сразу парал |
|
лельной плоскости треугольника, будет тоже общего положе ния и принять ее за плоскость проекций нельзя.
Первая перемена заключается в том, что плоскость тре угольника преобразовывается в проецирующую. Для этого новая плоскость проекций Vi взята перпендикулярной тре угольнику ABC, так как она перпендикулярна прямой AI (горизонтали), проведенной в треугольнике. На эпюре новая
СИ,
ось проекций Xt системы |
Н/Ѵі перпендикулярна горизонталь |
|||||||||
ной проекции al горизонтали плоскости |
треугольника. |
Новая |
||||||||
плоскость |
проекций Vi |
перпендикулярна |
к |
старой |
плоскости |
|||||
проекций Я, так как она перпендикулярна прямой AI, |
парал |
|||||||||
лельной плоскости |
Я. |
|
|
|
|
|
|
|
||
На плоскость Vi треугольник ABC спроецировался |
в пря |
|||||||||
мую линию а\'Ъх'с\ |
'. Заметим |
при этом, что а есть угол |
накло |
|||||||
на плоскости ABC |
к плоскости проекций |
Я. |
|
|
|
|||||
Произведя вторую |
перемену, выбираем |
новую |
плоскость |
|||||||
проекций |
Яі |
параллельной |
плоскости |
треугольника |
ABC. |
|||||
Новая ось |
проекций Х2 |
системы Ѵі/Ні |
проведена |
парал |
||||||
лельно |
а,\Ьі'С\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построенная на плоскости Нх проекция |
афхСі |
определяет |
||||||||
величину |
треугольника |
ABC. |
|
|
|
|
|
|||
§ 26. Способ вращения
Сущность этого способа состоит в том, что заданные гео метрические элементы преобразуются в частное положение путем вращения их вокруг одной или нескольких соответст-
112
вующим образом выбранных осей, при этом положение плос
костей проекций |
не |
изменяется. |
|
|
|||||||||
|
Если |
обратиться |
к рис. 118, где |
показано |
вращение точ |
||||||||
ки |
А |
вокруг |
оси |
Iii, то можно установить ряд положений, |
|||||||||
которым |
оно |
подчиняется. |
|
|
|
||||||||
|
1. |
Точка |
перемещается в плоскости, перпендикулярной оси |
||||||||||
вращения: RAA_IIi. |
RA |
|
называется |
плоскостью вращения |
|||||||||
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
Траекторией |
движения |
точки |
является |
окружность. |
|||||||
3. |
Центр |
|
этой |
окружно |
|
|
|
||||||
сти |
|
(точка |
О) |
находится |
в |
|
|
|
|||||
пересечении |
|
оси |
вращения |
|
|
|
|||||||
с |
плоскостью |
вращения |
и |
|
|
|
|||||||
называется |
центром |
враще |
|
|
|
||||||||
ния |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. Радиус |
этой |
окружно |
|
|
|
|||||||
сти |
|
(отрезок |
АО) |
есть |
рас- |
|
|
|
|||||
тояние от вращаемой |
точки |
|
|
|
|||||||||
до |
оси |
вращения |
или, |
что |
|
|
|
||||||
все |
равно, до |
центра |
враще |
|
Рис. |
118 |
|||||||
ния |
и называется |
радиусом |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
вращения точки. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5. Точка, взятая |
на |
оси |
вращения, при вращении геомет |
|||||||||
рического элемента, которому она принадлежит, не изменит
своего положения |
в |
пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
§ |
27. |
Вращение вокруг |
оси, |
|
|
|
|
||||
|
|
перпендикулярной |
плоскости проекций |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
а) Вращение |
точки |
|
|
|
|
|
|||
|
На рис. 119, а изображены точка А |
и ось Пи |
перпендику |
|||||||||||
лярная |
плоскости проекций Я. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вращаясь вокруг оси Пі, точка А будет перемещаться по |
|||||||||||||
дуге окружности в плоскости |
R A , |
которая |
перпендикулярна |
|||||||||||
оси |
/ / ] , |
следовательно, параллельна плоскости |
проекций |
Я и |
||||||||||
перпендикулярна |
плоскости |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Точка О — центр |
вращения, а |
отрезок |
АО — радиус вра |
||||||||||
щения точки |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как-плоскость RA параллельна Я, то радиус |
вращения |
||||||||||||
и окружность, по |
которой |
перемещается |
точка |
в |
процессе |
|||||||||
вращения, на плоскость Я спроецируются |
без |
искажения, а |
||||||||||||
на |
плоскость проекций |
V они |
будут проецироваться |
в прямую |
||||||||||
линию, |
совпадающую |
со следом |
RAV |
плоскости |
вращения, |
|||||||||
так |
как |
последняя является |
фронтально-проецирующей. |
|
||||||||||
|
На рис. |
119,6 |
изображен |
эпюр точки А (а{а') |
и |
оси |
II\ |
|||||||
(ііи |
i'ii), |
а |
также |
показано |
вращение |
точки |
А |
вокруг |
||||||
этой оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
ИЗ |
Из построения видно, что поворот точки Л в пространстве ъа угол ЛОЛ] или АОА2 изобразится на эпюре поворотом
горизонтальной проекции a |
на такие же по величине углы aoax |
или aoa2, так как точка Л |
с ее радиусом вращения и траек |
торией движения проецируется на плоскость Я без искаже ния, потому что лежит в плоскости R A , ей параллельной.
Фронтальные проекции точки Л после ее поворота |
а / и а/ |
|
будут находиться в проекционной связи |
на прямой, |
парал |
лельной оси X (на следе RAV П Л О С К О С Т И |
вращения). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
119 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. |
120 показано |
вращение |
точки |
В |
(b, |
Ь') |
вокруг |
|
|||||||
оси |
I I |
(м'і, |
перпендикулярной |
плоскости |
проекций |
V. |
|
|||||||||
Обобщая |
построения, |
выполненные |
на |
рис. 119,6 |
и |
120, |
|
|||||||||
можно сделать вывод: при вращении какой-либо точки вокруг |
|
|||||||||||||||
оси, |
перпендикулярной плоскости |
проекций, проекция |
точки |
|
||||||||||||
ка этой плоскости проекций перемещается |
по |
дуге окруж- |
і |
|||||||||||||
ности, а проекция той же точки на другой плоскости проек |
|
|||||||||||||||
ций |
перемещается |
по прямой, |
параллельной оси проекций. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) Вращение |
отрезка |
прямой |
|
линии |
|
|
|
|
||||
Две точки прямой определяют ее положение в простран |
|
|||||||||||||||
стве, следовательно, поворот |
отрезка |
прямой |
на |
некоторый |
|
|||||||||||
угол а сводится к повороту на этот угол в |
одном |
направле |
|
|||||||||||||
нии двух |
точек Л и В, определяющих |
его |
концы. |
AB |
|
|
|
|||||||||
Таким |
образом, |
задача |
вращения |
отрезка |
вокруг |
|
||||||||||
сси |
/ / ] , |
перпендикулярной плоскости проекций Я, на |
угол |
а |
||||||||||||
свелась |
к |
повторению дважды задачи на |
вращение |
точки, |
|
|||||||||||
114
поэтому построения, выполненные на рис. 121, а, не требуют пояснений. Однако обращает на себя внимание равенство тре
угольников аЫ и й\Ь\і по двум |
сторонам |
(они есть радиусы |
||
вращения точек А и В) аі=<Х\1 |
и b i = b ä |
и углу, |
заключен |
|
ному между ними; значит, равны |
третьи |
стороны |
этих тре |
|
угольников, т. е. аЬ = аф\. |
|
|
|
|
Из последнего равенства можно |
сделать вывод о том, что |
|||
при вращении отрезка прямой линии вокруг оси, перпендику лярной плоскости проекций, длина проекции отрезка на этой плоскости проекций не изменяется, следовательно, не изме няется угол наклона отрезка к этой плоскости, проекций.
Рис. 120 |
|
|
|
Рис. |
121 |
|
|
|
Последнее обстоятельство используется при решении за |
||||||||
дач по определению |
углов |
наклона |
прямой к |
плоскостям |
||||
іроекций способом |
вращения. |
|
|
|
|
|||
Полученный нами вывод |
позволяет |
сделать |
заключение |
|||||
о том, что |
если |
в |
треугольнике аЫ из точки і |
(проекции |
||||
оси Hi на плоскости |
проекций Н) опустим перпендикуляр на |
|||||||
ab в точку |
с, то и после поворота |
в треугольнике |
ахЬ\і эта |
|||||
перпендикулярность |
сохранится, а |
также сохранится равен |
||||||
ство ас=а\С\ |
и |
bc=b\C\. |
|
|
|
AB |
|
|
Использовав |
сделанное |
заключение, |
отрезок |
прямой |
||||
можно повернуть вокруг оси Пи перпендикулярной, например, плоскости проекций Н, с несколько меньшими построениями,
так как вращать придется не |
две точки отрезка, |
как на |
рис. 121, a, a лишь одну точку |
С, радиус вращения |
которой |
перпендикулярен самому отрезку (рис. 121,6).
Для поворота отрезка на угол а здесь выполнены следую щие построения. Из точки іі\ на ab в точку с опущен перпен
дикуляр, который вместе с ab, |
как жесткая |
система, |
повернут |
|
на заданный |
угол а. |
|
|
|
Точки ах |
и Ь] отложены на |
прямой, расположенной под |
||
прямым углом к перпендикуляру, исходя из равенств |
ахСі = ас |
|||
и b\C[ — bc. |
Фронтальные проекции концов |
А и В |
отрезка |
|
8* |
|
|
|
115 |
перемещаются |
по прямым, параллельным |
оси X, |
на |
которых |
в проекционной |
связи с Û I и &і получены |
а{ и Ь{, |
определяю |
|
щие фронтальную проекцию отрезка после поворота. |
|
|||
Еще более существенное упрощение в |
повороте |
отрезка |
||
прямой линии оказывается тогда, когда ось вращения не за дана, а предоставляется право наиболее рационального ее вы
бора так, чтобы она проходила через какую-либо |
точку |
от |
||||||
резка, |
которая в этом случае при вращении не будет |
менять |
||||||
своего |
положения в пространстве. |
отрезок AB |
(ab, |
a'b') |
||||
П р и м е р |
1. На рис. 122 изображен |
|||||||
прямой |
общего положения. Требуется |
определить |
его |
вели |
||||
чину и угол наклона к плоскости проекций |
Н. |
|
|
|
|
|||
Так |
как |
по условию задачи требуется |
найти |
угол |
накло |
|||
на AB |
к Н, то отрезок надо вращать вокруг оси, |
перпендику |
||||||
лярной к плоскости проекций Н, ибо только в этом случае не будет меняться угол наклона его к плоскости H (см. вывод, полученный в п. «б» данного параграфа).
Но условие задачи требует еще нахождения величины AB, значит, отрезок надо повернуть еще и так, чтобы он был па раллелен плоскости проекций V, т. е. после преобразования его положения способом вращения стал бы фронталью. Как
известно, фронтальная проекция фронтали |
равна |
ее |
длине, |
а угол между ней и осью X равен углу |
наклона |
фронтали |
|
к плоскости проекций Н. |
|
|
|
Для выполнения намеченного плана на рис. 122 проводим |
|||
ось вращения Пи перпендикулярную к H и проходящую через |
|||
точку В отрезка; фронтальная проекция ее |
прошла |
через |
|
Ь' и перпендикулярно к оси X, а горизонтальная проекция ііх |
|||
совпала с Ь. Затем, вращая точку А, приводим отрезок в по ложение фронтали: горизонтальная проекция а точки А по
вернута на угол, при котором горизонтальная |
проекция |
ab |
|||||||||||||||
отрезка |
оказалась |
в |
положении аф, |
параллельном |
|
оси |
X. |
||||||||||
Фронтальная |
проекция |
а/ |
получена |
|
по |
правилам, изложен |
|||||||||||
ным в п. «а» данного параграфа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В итоге U\b'=AB, |
а угол |
а |
есть |
угол наклона AB |
к |
|
плос |
||||||||||
кости проекций |
Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
2. |
На |
рис. 123 |
представлены фронтальная |
пря |
||||||||||||
мая ВС |
(be, b'c') |
и точка А |
(а, |
а'). Требуется определить |
рас |
||||||||||||
стояние |
между |
ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В § 24, а также на рис. 109 показано, что наиболее удоб |
|||||||||||||||||
ным положением прямой и точки для |
определения |
расстоя |
|||||||||||||||
ния |
между |
ними |
является |
|
случай, |
изображенный |
на |
||||||||||
рис. |
109, а. Рассматриваемый |
|
пример |
подобен |
аналогичному |
||||||||||||
на рис. 109,6. Как от него перейти к первому случаю? |
|
|
|
||||||||||||||
Проводим |
ось вращения |
П\ |
(ü\, |
|
V |
через точку |
С |
(с, |
с') |
||||||||
перпендикулярно плоскости |
проекций |
и вращаем |
|
вокруг |
|||||||||||||
нее |
отрезок |
ВС |
до |
положения, |
перпендикулярного |
|
плос- |
||||||||||
116
