Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Прежде всего секущую плоскость общего положения Р способом перемены плоскостей проекций преобразуем в проецирующую плоскость. Там, где новый фронтальный след

Рис. 151

Рѵ\ пройдет через проекцию шара на плоскости Ѵ\, получится проекция сечения шара в виде прямой линии, что соответст­ вует горизонтальной проекции рис. 150. Затем из центра шара опускаем на фигуру сечения (на хорду) перпендикуляр, осно-

ванием которого будет точка О/. Точка О является центром круга фигуры сечения. Совмещая эту точку с плоскостью Я, получим центр окружности, представляющей собою истинную величину фигуры сечения данного шара плоскостью Р. Диа­ метр этой окружности равняется хорде 1\'7\ на плоскости У\. Проведя окружность указанным диаметром, делим ее на 12 равных частей. Затем каждую из полученных точек сносим на горизонтальную проекцию шара. В этом случае полезно

проекции шара туда же сносим и все остальные точки. Следует особо выделить точки 13 и 14 (на истинной вели­

чине сечения они не показаны). Эти точки находятся на эква­ торе шара, и линия сечения, проходя через них, будет менять свою видимость. На горизонтальной проекции шара часть линии сечения, которая лежит справа от точек 13 и 14, будет

и показывается на чертеже штрихами. При определении види­ мости исходим из того, что должно быть видимо все то, что находится ближе к наблюдателю. При построении вида сверху ближе к наблюдателю располагаются точки 1, 2, 3, 4 и 10, лежащие на верхнем полушарии. Наоборот, точки 7, 6, 8, 5 я 9, расположенные на нижнем полушарии, не будут видны, поэтому на горизонтальной проекции линии сечения та часть ее, которая проходит через точки 7, б, 8 и др., не будет видна и показывается штрихами. При построении видимости фигуры

шара. Это будут точки 9, 10, 11 и 12. Точки 15 и 16 распола­ гаются на главном меридианном сечении, и поэтому на плос­ кости V они спроецируются на контур шара, разделяя собою сечение на видимую и невидимую части.

Для построения точек фигуры сечения на фронтальной проекции шара пользуемся фронталями плоскости Р, в кото­ рой лежит эта фигура.

горизонтальной проекции оно проецируется в замкнутую кри­ вую. В действительности сечение представляет собою эллипс.

костью, сносим на горизонтальную проекцию конуса. По­ строение истинной величины сечения достаточно наглядно по­ казано на чертеже стрелками. Здесь же на рис. 152 показано,

146

что истинная величина фигуры сечения может быть построена способом перемены плоскостей проекций. На любом расстоя­ нии от фронтальной проекции сечения проводим новую ось проекций 0\Х\ и для каждой точки откладываем от нее такие же расстояния, на каких они отстоят от оси на горизонталь­ ной плоскости проекции.

X

Рис. 152

На рис. 153 секущая плоскость Р направлена параллель­ но образующей конуса, поэтому его поверхность рассечется по параболе. Для построения точек, принадлежащих фигуре сечения, берем несколько вспомогательных образующих на поверхности конуса, и там, где каждая из них встретится на фронтальной проекции со следом Рѵ., будут располагаться искомые точки. При нахождении точек 9 и 10 на горизонталь-

ной проекции делаем дополнительный срез на конусе при по­ мощи плоскости Т, направленной параллельно основанию конуса и проходящей через эти точки. Плоскость Т пересечет, конус по кругу, диаметр которого равен величине отрезка а'Ь'.

На рис. 154 конус рассечен плоскостью Р, направленной параллельно высоте конуса. В этом случае сечение на поверх-

X

V

Рис. 153

ности конуса будет иметь форму гиперболы. Точки 1 к 2 на­ ходятся на основании конуса, а для того чтобы получить наи­ высшую точку гиперболы 3, опускаем из центра основания на хорду 1, 2 перпендикуляр, являющийся вместе с тем горизон­ тальной проекцией образующей, на которой должна нахо­ диться точка 3. Строим эту образующую конуса на фронталь­ ной проекции и на нее сносим точку 3. Так как часть сечения, расположенная на задней половине поверхности конуса, не будет видна и ее следует изобразить штрихами, то необхо-

148

димо на фронтальной проекции конуса показать точку на об­ разующей s'a'. Это будет точка 6', горизонтальная проекция которой лежит на образующей sa, совпадающей с осью осно­ вания; 4 и 5 являются промежуточными, вспомогательными точками, полученными от пересечения произвольно взятых вспомогательных образующих.

X

Таким образом, фигура сечения будет иметь вид незакончен­ ного эллипса. Это сечение на фронтальной проекции проеци­ руется в прямую линию, сливающуюся со следом Рѵ, а на горизонтальной проекции оно идет по хорде 6, 7 и по кон­ туру горизонтальной проекции цилиндра. Построение истин­ ной величины сечения показано стрелками.

149

Сечение цилиндра может проходить и через нижнее осно­ вание; тогда фигура сечения с двух сторон будет ограничена хордами, а с других двух сторон —лекальными кривыми

Рис. 155

(частями эллипса). Если же сечение цилиндра пойдет парал­ лельно его оси, то в этом случае оно будет иметь форму прямоугольника.

§ 36. Построение разверток поверхностей геометрических тел

Развертка поверхности призмы. На рис. 156 показано по­ строение развертки поверхности четырехугольной прямой призмы. Призма взята прямая и стоит она на плоскости проекций, следовательно, на чертеже этой призмы имеются йсе необходимые данные для построения ее развертки.

В самом деле, боковые ребра призмы проецируются на плоскость V в свою натуральную величину, потому что они

150

параллельны этой плоскости. Ребра основания проецируются без искажения на плоскость Я в силу того, что основание лежит на этой плоскости. Ребра основания определяют собою и ширину граней, а сумма их (периметр фигуры основания) дает на развертке длину развертки боковой поверхности.

Для получения полной развертки поверхности призмы надо к развертке ее боковой поверхности пристроить у любой из

построение развертки поверхности прямого кругового ци­ линдра. Развертка боковой поверхности цилиндра представ­ ляет собою прямоугольник, длина которого равна длине окружности, лежащей в основании цилиндра, а ширина рав­ няется высоте или образующей цилиндра.

При таком расположении цилиндра эти данные легко на­ ходятся из проекций цилиндра на Я и V.

Длину окружности основания можно вычислить, но для

цилиндра надо всю длину окружности основания разделить, например, на 12 равных частей, полученные вспомогательные образующие нанести на развертку боковой поверхности и на них перенести соответствующие точки с фронтальной проек­ ции цилиндра.

151

Развертка цилиндра будет полной, если к развертке его боковой поверхности пристроить еще два основания — верхнее и нижнее. _

Рис. 157

Развертка поверхности пирамиды. На рис. 158, а и б по­ казано построение развертки поверхности четырехугольной

s'

Рис. 158

пирамиды. Боковые грани полной пирамиды (не усеченной) всегда представляют собою треугольники. Таким образом,.

152

для построения развертки боковой поверхности пирамиды не­ обходимо иметь величину сторон этих треугольников. При таком расположении пирамиды, как показано на рис. 158, а, ее основание проецируется на плоскость Я в натуральную ве­ личину. Ребро SA расположено параллельно плоскости V, по­ этому на фронтальную плоскость проекции оно проецируется без искажения. Остальные ребра спроецировались с искаже­ нием как на плоскость Я, так и на плоскость V, поэтому не­ обходимо предварительно определить их истинную величину. На рис. 158, а они построены способом вращения.

ды) . Число треугольников зависит от количества граней у пи­ рамиды. Основание пирамиды можно пристроить к любой из граней.

Задача решается несколько проще, когда приходится строить развертку поверхности правильной прямой пирамиды. В этом случае все грани пирамиды будут равны между собой, поэтому достаточно определить истинную величину одного из ребер; приняв эту величину за радиус, проведем дугу окруж­ ности и отложим на ней соответствующее число ребер осно­ вания. Найденные точки соединяем с центром дуги и между собою и получаем развертку боковой поверхности пирамиды.

При нанесении точек и линии сечения на развертку пира­ миды следует считаться с тем, что на развертке ребра строятся в натуральную величину, поэтому при переносе точек сечения ребер сначала следует определить истинную величину отрезка ребра, а затем полученную точку нанести на соответ­

нанести на развертку пирамиды и тогда поместить на нее дан­ ную точку.

угол а со сторонами, равными /. Дуга, стягивающая этот угол,, и будет как раз равняться длине данной окружности.

Радиус основания R, если конус стоит на плоскости Я г

153